1. เซต (Set)
หนึ่งในแนวคิดสำคัญทางคณิตศาสตร์นั้นก็คือ เซต (Set) เซตนั้นคือ ตัวเก็บค่า หรือวัตถุหนึ่งๆ เช่น เซต ที่บรรจุค่าของตัวเลข จำนวนนับ จาก
1 ถึง
5 เราสามารถเขียนได้เป็น
\{1,2,3,4,5\}
ตัวเลขที่อยู่ในเซตนั้น จะถูกเรียกว่า องค์ประกอบ (
elements) หรือ สมาชิกของ (
members) เซต และเราแบ่ง สมาชิกต่างๆในเซตนั้นได้ด้วย คอมมา (commas) ที่อยู่ในวงเล็บปีกกา
\{\} ลักษณะแบบนี้ถูกเรียกว่า สัญลักษณ์ของเซต โดยส่วนใหญ่แล้ว เราจะเขียนชื่อของเซต ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ พิมพ์ใหญ่ เช่น
A=\{1,2,3,4,5\}
เมื่อเรา พูดถึง เซต
A เราจะรู้ว่าเราจะอ้างถึงเซต
\{1,2,3,4,5\}
ถ้าเราต้องการระบุโดยเฉพาะเจาะจงว่า
2 นั้นเป็น สมาชิกของ เซต
A เราสามารถเขียนแสดงได้ดังนี้
2\in A
ถ้าเราต้องการเขียนแสดงว่า
8 ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต
A เราจะเขียนได้
8\not\in A
พิจารณาเซต
B=\{2,4\} โดยที่แต่ละสมาชิกของเซต
B นั้นเป็นสมาชิกของเซต
A เช่นกัน เราสามารถกล่าวได้ว่า เซต
B เป็น วับเซตของ
A และเขียนได้ดังนี้
B\subset A
เมื่อ
B นั้นถูกบรรจุใน เซต
A บางครั้งเราสามารถเขียนแสดงได้ด้วยรูปภาพด้านล่างนี้
ในทางกลับกัน เมื่อพิจารณาเซต
C=\{1,3,5,7\} โดยที่
7\in C แต่
7\not\in A เซต
C จึงไม่เป็นซับเซต (Subset) ของ
A โดยเราเขียนแสดงได้ดังนี้
C\not\subset A
ข้อสังเกตุ ความแตกต่างระหว่างการใช้
\in และ
\subset คือ เราจะนำ
\in มาใช้กับ สมาชิก (element) และ
\subset นั้นนำมาใช้กับ เซต (Set) นั่นเอง
ตัวอย่าง
พิจาณาเซต F=\{1,3,5,7,9\} G=\{3,5\} และ J=\{3,4,5\} จากข้อความที่กำหนดให้ด้านล่างนี้ ข้อใดเป็นจริง ข้อใดเป็น เท็จ
1. G \subset F
ตอบ เป็นจริง เพราะแต่ละสมาชิก ของ G นั้นเป็นสมาชิกของเซต F
2. J \subset F
ตอบ เป็นเท็จ เพราะ 4 ที่เป้นสมาชิกของเซต J ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต F
3. J \subset J
ตอบ เป็นจริง เพราะแต่ละสมาชิกของเซต J ก็คือสมาชิกของ เซต J
ข้อสังเกตุ ทุกๆเซตนั้นเป็นสับเซตของตัวมันเอง ดังนั้น ถ้า A เป็นเซต ดังนั้น A\subset A
ความน่าสนใจอีกอย่างหนึ่ง ของเซตนั้นก็คือ เซตว่าง (empty set) โดยเซตดังกล่าวนั้น ไม่ได้บรรจุ สมาชิกใดไว้เลย โดยเซตดังกล่าวน้นถูกแสดงได้โดยการเขียนสัญลักษณฺ ดังนี้ \{\} หรือ \emptyset (\emptyset เป็นอักษรกรีซ phi ออกเสียงได้คือ fee) ตัวอย่างของเซตว่าง คือ เซตที่บรรจุ จำนวนนับ ที่มีค่าระหว่าง 2 ถึง 3 พิจารณา เซต A=\{1,2\} เราสามารถพูดได้ว่า \emptyset \subset A เพราะ ถ้า \emptyset ไม่ได้เป็นซับเซต ของ A ดังนั้นแสดงว่า ควรจะมีสมาชิกของ \emptyset ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต A แต่ปรากฏว่า \emptyset นั้นไม่มีสมาชิกใดเลย ไม่เป็นสมาชิกของ เซต A เราจึงพูดได้ว่า เซตว่าง นั้นเป็นสับเซตของทุกเซต
ดังนั้นเมื่อเราพิจารณาเฉพาะ เซต จำกัด ซึงเป็นเซต ที่มีจำนวนสมาชิกแบบจำกัด แต่เมื่อเซต ของจำนวนนับ ที่เขียนแสดงได้ด้วย
N=\{1,2,3,4,\dots\}
เซต N นั้นเป็นเซต แบบไม่จำกัด เพราะ จำนวนสมาชิกใน เซต ไม่มีขอบเขตจำกัด เราสามารถเขียนแสดงได้ด้วย ตัวเลขเริ่มต้นจำนวนบางส่วน โดยสร้าง รูปแบบ และเขียนต่อท้ายด้วยจุดสามจุด โดยรูปแบบดังกล่าวนั้นจะแสดงต่อเนื่องแบบไม่สิ้นสุด ยกตัวอย่าง เซตไม่จำกัด คือเซตของ จำนวนนับที่เป็น เลขคู่ทั้งหมด คือ :
E =\{2,4,6,8,\dots\}
นอกจากนั้นเรายังสามารถใช้จุดสามจุด เมื่อ เซนนั้น เป็น เซนจำกัด ได้เมื่อเซตนั้นประกอบด้วย จำนวนสมาชิกจำนวนมาก เช่น เซตของ จำนวนนับ 100 เลขแรก สามารถเขียนได้ด้วย
P=\{1,2,3,4,\dots ,100\}
ตัวอย่าง
พิจารณาเซต ดังต่อไปนี้ N=\{1,2,3,4,\dots \} E=\{2,4,6,8,\dots\} และ A=\{1,2,3,4,5\} โดยกำหนดข้อความด้านล่างดังต่อไปนี้ จงหาว่า ข้อใด ถูก ข้อใด ผิด
1. E\subset N
ถูก เพราะ สมาชิกแต่ละตัวของ E นั้นเป็นสมาชิกของ N
2. 24 \in E
ถูก เพราะ 24 เป็นจำนวนคู่ และเป็นสมาชิกของ E
3. N\subset A
ผิด เพราะ N นั้นบรรจุ ตัวเลข 6,7,8,\dots แต่ไม่ได้เป็นสมาชิกของ A
4. \emptyset \subset A
ถูก เพราะ เซตว่าง เป็นซับเซตของ ทุกเซต
เซต
2 เซตจะเท่ากัน เมื่อ แต่ละเซตนั้น บรรจุ สมาชิกที่เหมือนกัน ทุกประการ เช่น เซต
X=\{2,7,9\} และ
Y=\{7,2,7,9\}
เป็นเซต ที่มีค่าเท่ากัน เพราะแต่ละเซตนั้น มีสมาชิกเหมือนกัน คือ
2,7, และ
9 โดย แต่ละอันนั้น จัดเรียงไม่เหมือนกัน และอีก เซตนึงนั้น มีสมาชิกที่ซ้ำกัน (เซต
Y) ก็ตาม
สมมติ ว่า เซตของสมาชิก โดยที่ เซต
D และ เซต
G ทั้งสองเซตนั้น ที่มีสมาชิกเหมือนกัน เซตดังกล่าวจะถูกเรียกว่า อิ
นเตอร์เซกชั่น (intersection) ของ
D และ
G เขียนสัญลักษณ์ได้โดย
D\cap G
และสำหรับ เซต ที่นำสมาชิกของ เซต
D และ เซต
G มารวมกันในเซตเดียวกัน เซตนั้นจะถูกเรียกว่า
ยูเนียน (union) ของ
D และ
G จะเขียนสัญลักษณ์ได้ด้วย
D\cup G
ตัวอย่าง เรากำลังมองหางาน และในความคิดของเรานั้น แบ่งงานออกเป็น สอง เซต และ กำหนดเซตที่ หนึ่งว่า
M (สำหรับเงิน Money) โดยจะแสดงเซตของ งานที่จ่ายเงินดี ส่วนอีก หนึ่งเซตนั้น จะเป็นเซตของงาน ที่มีที่ตั้งเหมาะสม แล้วเราจะกำหนดให้เป็นเซต
L เมื่อเรามองหางานเรา เราอาจจะต้องการงานอย่างใดอย่างหนึ่ง ตามที่เรากำหนดเป็นเซตไว้ หรืออาจจะต้องการงานตามเงื่อนไขทั้งสองอย่าง ดังนั้นเซต ที่บรรจุ เงื่อนไขทั้งสองอย่างตามที่เรากำหนดไว้ นั่นก็คือ อินเตอร์เซกชั่น เซต
M\cap L
ตามสัญลักษณ์ด้านบนนั้น คืองานที่ต้องมีคุณสมบัติทั้งสองอย่าง คือ
M (เงินดี) และ เซต
L (ที่ตั้งดี) แต่เมื่อเรามองค้นหางานดังกล่าวแล้ว เราไม่สามารถมองหางานที่มีคุณสมบัติพร้อมกัน ทั้งสองเซตได้เลย ดังนั้น เราจึงต้องพิจารณา หาเฉพาะเงื่อนไขใดเงื่อนไขนึง หรือทั้งสอง เงื่อนไข ในกรณีนี้ เซต ของงานดังกล่าวที่เราพิจารณา คือ ยูเนียน เซต ทั้งสองเซต
M และ
L
M\cup L
ตัวอย่างอื่นๆ
S=\{1,2,3,5\} และ
T=\{ -2, 0,2,4\} ดังนั้น อินเตอร์เซกชั่น เซต ของ เซต
S และ
T คือ
S\cap T =\{2\} และ ยูเนียน เซต ของ เซต
S และ
T คือ
S\cup T คือ
S\cup S =\{1,2,3,5,-2,0,2,4\} =\{-2,0,1,2,3,4,5\} ดังนั้น เราจะเห็นว่า อินเตอร์เซกชั่น เซตนั้น คือ สมาชิก ของ เซตสองเซต ที่มีสมาชิกเหมือนกัน และ ยูเนียน เซต คือ เซต ของสมาชิก ของทั้งสองเซต มารวมกัน
ตัวอย่าง
พิจารณา เซต
A=\{1,3,5,7,9\} ,B=\{1,2,3,4\} ,C=\{2,4,6,8,\dots\} ,D=\{4,8,12,16,\dots\} ,F=\{ ผู้ชายทุกคน
\} และ
A=\{ ผู้หญิงทุกคน
\} หา เซตต่างๆ ตามข้อความด้านล่างนี้
1.
F\cup M
F\cup M=\{ คนทุกคน
\}
2.
F\cap M
F\cap M =\emptyset เพราะทั้งสองเซตนั้นไม่มีสมาชิกที่เหมือนกัน
3.
A\cap B
A\cap B \{1,3\} เพราะว่า สมาชิก
1 และ
3 นั้นเป็นสมาชิกทั้ง เซต
A และ เซต
B
4.
A\cup B
A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\} โดยการนำสมาชิกทั้งหมดของ เซต
A และ เซต
B มารวมกัน
5.
C\cap D
C\cap D=\{4,8,12,16,\dots \} =D
6.
C\cup D
C\cup D=\{2,4,6,8,\dots \} = C
ระวังข้อผิดพลาดดังต่อไปนี้
ไม่ถูกต้อง | ที่ถูกต้อง |
1. 5\subset \{3,4,5\} | 5\in \{3,4,5\} |
2. \{4,5\} \in \{3,4,5\} | \{4,5\} \subset \{3,4,5\} |
3. เซตว่าง =\{\emptyset \} (เซตนี้เซตที่ บรรจุ สัญลักษณ์
\emptyset ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง) | เซตว่าง คือ =\emptyset หรือ \{\} |