Processing math: 100%

Disable copy

Friday, 31 January 2020

รวมสูตร จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

 รวมสูตร จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

นิยาม และ ความสัมพันธ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Definitions Involving Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) โดยทัวไปแล้วจะถูกเขียนอยู่ในรูป a+bi เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง และ i เป็นจำนวนจินตภาพ โดยมีค่าเท่ากับ i^2 = -1 โดย a และ bi เป็นส่วนจริง และ ส่วนจินตภาพตามลำดับ

จำนวนเชิงซ้อน a+bi และ a-bi ถูกเรียกว่า สังยุค ของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugates) ซึ่งกันและกัน

การเท่ากันของ จำนวนเชิงซ้อน (Equality of Complex Numbers)


a+bi = c+di ถ้า a=c และ b=d

การบวกจำนวนเชิงซ้อน (Addition of Complex Numbers)


(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i

การลบจำนวนเชิงซ้อน (Subtraction of Complex Numbers)


(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

การคูณจำนวนเชิงซ้อน (Multiplication of Complex Numbers)


(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

การหารของจำนวนเชิงซ้อน (Division of Complex Numbers)


\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{a+bi}{c+di}\cdot \dfrac{c-di}{c-di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i

ข้อสังเกต จากการดำเนินการด้านบนนั้น ใช้กฎพื้นฐานทาง พีชคณิต โดยแทนค่า i^2 =-1

กราฟของจำนวนเชิงซ้อน (Graph of a Complex Numbers)




จำนวนเชิงซ้อน a+bi สามารถเขียนจุด (a,b) บนระนาบ xy ได้ โดยเรียกว่า Argand Diagram หรือ Gaussian Plan ตัวอย่างดังรูป  P คือ จำนวนเชิงซ้อน -3+4i

จำนวนเชิงซ้อน สามารถแสดงได้ดัง vector จาก O ถึง P

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้ว (Polar Form of a Complex Numbers)



จากรูป จุด P คือ พิกัด (x,y) แสดงในรูปแบบจำนวนเชิงซ้อน x+iy จุด P สามารถแสดงใน  รูปแบบเชิงขั้ว (Polar Coordinates) (r,\theta) เมื่อ x=r\cos\theta ,y=r\sin\theta ดังนั้น

x+iy = r(\cos\theta +i\sin \theta) 

เรียกว่า รูปแบบเชิงขั้ว ของจำนวนเชิงซ้อน เราจะเห็นบ่อยๆในรูป r=\sqrt{x^2+y^2} คือ โมดูล modules และ \theta คือ แอมพลิจูดของ x+iy

การคูณ และ การหาร ของจำนวนเชิงซ้อน ในรูปแบบเชิงขั้ว (Multiplication and Division of Complex Numbers in Polar Form)


1. [r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)][r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)]=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]

2. \dfrac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)} =\dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]

ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ (De Moiver's Theorem)


ถ้า p คือจำนวนจริงใดๆ เราสามารถตาม ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ได้ดังนี้

[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^p = r^p(\cos p\theta +i\sin p\theta)

ค่ารากของจำนวนเชิงซ้อน (Roots of Complex Numbers)


ถ้า p=\dfrac{1}{n} เมื่อ n คือจำนวนเต็มบวกใดๆ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

[r(\cos\theta +i\sin\theta)]^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left[\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right]

เมื่อ k คือจำนวนเต็มใดๆ จากค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน โดยใส่ค่าต่างๆดังนี้ k=0,1,2,\dots ,n-1

No comments:

Post a Comment