รวมสูตร จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

 รวมสูตร จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

นิยาม และ ความสัมพันธ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Definitions Involving Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) โดยทัวไปแล้วจะถูกเขียนอยู่ในรูป $a+bi$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และ $i$ เป็นจำนวนจินตภาพ โดยมีค่าเท่ากับ $i^2 = -1$ โดย $a$ และ $bi$ เป็นส่วนจริง และ ส่วนจินตภาพตามลำดับ

จำนวนเชิงซ้อน $a+bi$ และ $a-bi$ ถูกเรียกว่า สังยุค ของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugates) ซึ่งกันและกัน

การเท่ากันของ จำนวนเชิงซ้อน (Equality of Complex Numbers)

$a+bi = c+di$ ถ้า $a=c$ และ $b=d$

การบวกจำนวนเชิงซ้อน (Addition of Complex Numbers)

$(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i$

การลบจำนวนเชิงซ้อน (Subtraction of Complex Numbers)

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

การคูณจำนวนเชิงซ้อน (Multiplication of Complex Numbers)

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

การหารของจำนวนเชิงซ้อน (Division of Complex Numbers)

$\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{a+bi}{c+di}\cdot \dfrac{c-di}{c-di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i$

ข้อสังเกต จากการดำเนินการด้านบนนั้น ใช้กฎพื้นฐานทาง พีชคณิต โดยแทนค่า $i^2 =-1$

กราฟของจำนวนเชิงซ้อน (Graph of a Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน $a+bi$ สามารถเขียนจุด $(a,b) $ บนระนาบ $xy$ ได้ โดยเรียกว่า Argand Diagram หรือ Gaussian Plan ตัวอย่างดังรูป  $P$ คือ จำนวนเชิงซ้อน $-3+4i$

จำนวนเชิงซ้อน สามารถแสดงได้ดัง vector จาก $O$ ถึง $P$

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้ว (Polar Form of a Complex Numbers)

จากรูป จุด $P$ คือ พิกัด $(x,y)$ แสดงในรูปแบบจำนวนเชิงซ้อน $x+iy$ จุด $P$ สามารถแสดงใน  รูปแบบเชิงขั้ว (Polar Coordinates) $(r,\theta)$ เมื่อ $x=r\cos\theta ,y=r\sin\theta$ ดังนั้น

$x+iy = r(\cos\theta +i\sin \theta)$ 

เรียกว่า รูปแบบเชิงขั้ว ของจำนวนเชิงซ้อน เราจะเห็นบ่อยๆในรูป $r=\sqrt{x^2+y^2}$ คือ โมดูล modules และ $\theta$ คือ แอมพลิจูดของ $x+iy$

การคูณ และ การหาร ของจำนวนเชิงซ้อน ในรูปแบบเชิงขั้ว (Multiplication and Division of Complex Numbers in Polar Form)

1. $[r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)][r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)]=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$

2. $\dfrac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)} =\dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]$

ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ (De Moiver's Theorem)

ถ้า $p$ คือจำนวนจริงใดๆ เราสามารถตาม ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ได้ดังนี้

$[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^p = r^p(\cos p\theta +i\sin p\theta)$

ค่ารากของจำนวนเชิงซ้อน (Roots of Complex Numbers)

ถ้า $p=\dfrac{1}{n}$ เมื่อ $n$ คือจำนวนเต็มบวกใดๆ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

$[r(\cos\theta +i\sin\theta)]^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left[\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right]$

เมื่อ $k$ คือจำนวนเต็มใดๆ จากค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน โดยใส่ค่าต่างๆดังนี้ $k=0,1,2,\dots ,n-1$