รวมสูตร จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

 รวมสูตร จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

นิยาม และ ความสัมพันธ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Definitions Involving Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) โดยทัวไปแล้วจะถูกเขียนอยู่ในรูป $a+bi$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และ $i$ เป็นจำนวนจินตภาพ โดยมีค่าเท่ากับ $i^2 = -1$ โดย $a$ และ $bi$ เป็นส่วนจริง และ ส่วนจินตภาพตามลำดับ

จำนวนเชิงซ้อน $a+bi$ และ $a-bi$ ถูกเรียกว่า สังยุค ของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugates) ซึ่งกันและกัน

การเท่ากันของ จำนวนเชิงซ้อน (Equality of Complex Numbers)

$a+bi = c+di$ ถ้า $a=c$ และ $b=d$

การบวกจำนวนเชิงซ้อน (Addition of Complex Numbers)

$(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i$

การลบจำนวนเชิงซ้อน (Subtraction of Complex Numbers)

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

การคูณจำนวนเชิงซ้อน (Multiplication of Complex Numbers)

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

การหารของจำนวนเชิงซ้อน (Division of Complex Numbers)

$\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{a+bi}{c+di}\cdot \dfrac{c-di}{c-di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i$

ข้อสังเกต จากการดำเนินการด้านบนนั้น ใช้กฎพื้นฐานทาง พีชคณิต โดยแทนค่า $i^2 =-1$

กราฟของจำนวนเชิงซ้อน (Graph of a Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน $a+bi$ สามารถเขียนจุด $(a,b) $ บนระนาบ $xy$ ได้ โดยเรียกว่า Argand Diagram หรือ Gaussian Plan ตัวอย่างดังรูป  $P$ คือ จำนวนเชิงซ้อน $-3+4i$

จำนวนเชิงซ้อน สามารถแสดงได้ดัง vector จาก $O$ ถึง $P$

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้ว (Polar Form of a Complex Numbers)

จากรูป จุด $P$ คือ พิกัด $(x,y)$ แสดงในรูปแบบจำนวนเชิงซ้อน $x+iy$ จุด $P$ สามารถแสดงใน  รูปแบบเชิงขั้ว (Polar Coordinates) $(r,\theta)$ เมื่อ $x=r\cos\theta ,y=r\sin\theta$ ดังนั้น

$x+iy = r(\cos\theta +i\sin \theta)$ 

เรียกว่า รูปแบบเชิงขั้ว ของจำนวนเชิงซ้อน เราจะเห็นบ่อยๆในรูป $r=\sqrt{x^2+y^2}$ คือ โมดูล modules และ $\theta$ คือ แอมพลิจูดของ $x+iy$

การคูณ และ การหาร ของจำนวนเชิงซ้อน ในรูปแบบเชิงขั้ว (Multiplication and Division of Complex Numbers in Polar Form)

1. $[r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)][r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)]=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$

2. $\dfrac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)} =\dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]$

ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ (De Moiver's Theorem)

ถ้า $p$ คือจำนวนจริงใดๆ เราสามารถตาม ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ได้ดังนี้

$[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^p = r^p(\cos p\theta +i\sin p\theta)$

ค่ารากของจำนวนเชิงซ้อน (Roots of Complex Numbers)

ถ้า $p=\dfrac{1}{n}$ เมื่อ $n$ คือจำนวนเต็มบวกใดๆ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

$[r(\cos\theta +i\sin\theta)]^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left[\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right]$

เมื่อ $k$ คือจำนวนเต็มใดๆ จากค่ารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน โดยใส่ค่าต่างๆดังนี้ $k=0,1,2,\dots ,n-1$

รวมสูตร ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ Trigonometric Functions

รวมสูตร ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ Trigonometric Functions

นิยามสำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของ สามเหลี่ยมมุมฉาก (Definition Of Trigonometric Functions For a Right Triangle)

สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $(90^\circ)$ ที่ $C$  และด้านของสามเหลี่ยม $a,b,c$  ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ของมุม $A$ จะกำหนดได้ดังนี้

• $\sin A= \dfrac{a}{c}$
• $\cos A =\dfrac{b}{c}$
• $\tan A =\dfrac{a}{b}$
• $\cot A=\dfrac{b}{a}$
• $\sec A =\dfrac{c}{b}$
• $\csc A =\dfrac{c}{a}$ 

การขยายของมุมที่มีขนาดมากกว่า $90^\circ$

พิจารณา ระบบพิกัด $xy$ ในรูปด้านล่างนี้ จุด $P$ ในระนาบแกน $xy$ มีค่าพิกัดคือ $(x,y)$ เมื่อ $x$ มีค่าเป็นบวกตามแนว $OX$ และ มีค่าลบตลอด แนว $OX'$ ขณะที่ $y$ เป็นบวกตลอดแนว $OY$ และเป็นลบตลอดแนว $OY'$ ระยะทางจากจุดเริ่มต้น $O$ ไปยังจุด $P$ มีค่าเป็นบวกและสามารถเขียนแสดงได้ด้วย $r=\sqrt{x^2+y^2}$ มุม $A$ เมื่อลากผ่านโดยทวนเข็มนาฬิกา จากแนว $OX$ นั้นจะมีค่าเป็นบวก ถ้าลากผ่านตามเข็มนาฬิกาจาก $OX$ จะมีค่าเป็นลบ เราเรียก $X'OX$ และ $Y'OY$ คือแกน $x$ และ แกน $y$ ตามลำดับ

จตุรภาคเราสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ $I,II,III,IV$ หรือเรียกว่า จตุรภาคที่ 1 จตุรภาคที่ 2 จตุรภาคที่ 3 และ จตุรภาคที่ 4 ตามลำดับ ดังรูปด้านล่าง ยกตัวอย่างเช่น มุม $A$ ในจตุรภาคที่ 2 และ มุม $A$ ในจตุรภาคที่ 3



สำหรับมุม $A$ ในทุกๆจตุรภาค ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ของ $A$ คือ

1. $\sin A =\dfrac{y}{r}$

2. $\cos A =\dfrac{x}{r}$

3. $\tan A =\dfrac{y}{x}$

4. $\cot A =\dfrac{x}{y}$

5. $\sec A =\dfrac{r}{x}$

6. $\csc A =\dfrac{r}{y}$

ความสัมพันธ์ ระหว่าง องศา (Degrees) และ เรเดียน (Radians)

เรเดียน คือ ส่วนโค้ง  $MN$ ที่รองรับมุม $\theta$ ของวงกลม ที่จุดศูนย์กลาง $O$ จะมีค่า เท่ากับ $r$

เมื่อ $2\pi$ เรเดียน $= 360^\circ$ ดังนั้น

1. $1$ เรเดียน $=180^\circ\pi = 57.29557\; 95130\; 8232\;\dots ^\circ$

2. $1^\circ =\pi/180$ เรเดียน $= 0.01745\; 32925\; 19943\; 29576\; 92\;\dots$ เรเดียน

ความสัมพันธ์ระหว่าง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Relationships Among Trigonometric Functions)

1. $\tan A =\dfrac{\sin A}{\cos A}$

2. $\cot A =\dfrac{1}{\tan A} = \dfrac{\cos A}{\sin A}$

3. $\sec A =\dfrac{1}{\cos A}$

4. $\csc A =\dfrac{1}{\sin A}$

5. $\sin^2 A+\cos^2 A =1$

6. $\sec^2 A-\tan^2 A =1$

7. $\csc^2 A -\cot^2 A =1$

สัญลักษณ์และความแตกต่าง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Signs and Variations Of Trigonometric Functions)

จตุรภาค	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$	$\cot A$	$\sec A$	$\csc A$
$1$	$+$ $0$ ถึง $1$	$+$ $1$ ถึง $0$	$+$ $0$ ถึง $\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $0$	$+$ $1$ ถึง $\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $1$
$2$	$+$ $1$ ถึง $0$	$-$ $0$ ถึง $-1$	$-$ $-\infty$ ถึง $0$	$-$ $0$ ถึง $-\infty$	$-$ $-\infty$ ถึง $-1$	$+$ $1$ ถึง $\infty$
$3$	$-$ $0$ ถึง $-1$	$-$ $-1$ ถึง $0$	$+$ $0$ ถึง $\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $0$	$-$ $-1$ ถึง $-\infty$	$-$ $-\infty$ ถึง $-1$
$4$	$-$ $-1$ ถึง $0$	$+$ $0$ ถึง $1$	$-$ $-\infty$ ถึง $0$	$-$ $0$ ถึง $-\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $1$	$-$ $-1$ ถึง $-\infty$

ค่าของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติของมุมขนาดต่างๆ (Functions Of Various Angles)

มุม $A$ (องศา)	มุม $A$ (เรเดียน)	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$	$\cot A$	$\sec A$	$\csc A$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$
$15^\circ$	$\dfrac{\pi}{12}$	\( \frac{ (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\)	$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
$30^\circ$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{2}$	$2$
$45^\circ$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$60^\circ$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$75^\circ$	$\dfrac{5\pi}{12}$	$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$90^\circ$	$\dfrac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\pm\infty$	$0$	$\pm\infty$	$1$
$105^\circ$	$\dfrac{7\pi}{12}$	$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$-\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$120^\circ$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$135^\circ$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$
$150^\circ$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$165^\circ$	$\dfrac{11\pi}{12}$	$\frac{()\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$\mp\infty$	$-1$	$\pm\infty$
$195^\circ$	$\dfrac{13\pi}{12}$	$-\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$-\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$210^\circ$	$\dfrac{7\pi}{6}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$-2$
$225^\circ$	$\dfrac{5\pi}{4}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$240^\circ$	$\dfrac{4\pi}{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$255^\circ$	$\dfrac{17\pi}{12}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$-(\sqrt{}6|+\sqrt{2})$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$270^\circ$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$\pm\infty$	$0$	$\mp\infty$	$-1$
$285^\circ$	$\dfrac{19\pi}{12}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(2-\sqrt{3})$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$300^\circ$	$\dfrac{5\pi}{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$315^\circ$	$\dfrac{7\pi}{4}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$330^\circ$	$\dfrac{11\pi}{6}$	$-\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$-2$
$345^\circ$	$\dfrac{23\pi}{12}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(2+\sqrt{3})$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$\mp\infty$	$1$	$\mp\infty$

กราฟ ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ (Graphs of Trigonometric Functions) 

$y=\sin x$	$y=\cos x$
$y=\tan x$	$y=\cot x$
$y=\sec x$	$y=\csc x$

ฟังก์ชันของมุมที่เป็น ลบ (Functions of Negative Angles)

1. $\sin(-A) = -\sin A$

2. $\cos(-A) = \cos A$

3. $\tan(-A) = -\tan A$

4. $\csc(-A) = -\csc A$

5. $\sec(-A) = \sec A$

6. $\cot(-A) = -\cot A$

สูตรการบวกมุม ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ (Addition Formulars)

1. $\sin(A\pm B) =\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$

2. $\cos(A\pm B)= \cos A\cos B\mp\sin A\sin B$

3. $\tan(A\pm B)=\dfrac{\tan A\pm\tan B}{1\mp \tan A\tan B}$

4. $\cot(A\pm B)=\dfrac{\cot A\cot B\mp 1}{\cot B\pm\cot A}$

ฟังก์ชันของมุม ในทุกจตุรภาค แปลงเป็น จตุรภาคที่ภาคที่ 1 (Function of Angle in All Quadrants in Terms of Those in Quadrant I)

	$-A$	$90^\circ \pm A$ $\dfrac{\pi}{2}\pm A$	$180^\circ \pm A$ $\pi\pm A$	$270^\circ \pm A$ $\dfrac{3\pi}{2}\pm A$	$k(360^\circ)\pm A$ $2k\pi\pm A$ $k=$ integer
$\sin $	$-\sin A$	$\cos A$	$\mp \sin A$	$-\cos A$	$\pm \sin A$
$\cos $	$\cos A$	$\mp \sin A$	$-\cos A$	$\pm \sin A$	$\cos A$
$\tan $	$-\tan A$	$\mp \cot A$	$\pm \tan A$	$\mp \cot A$	$\pm \tan A$
$\csc$	$-\csc A$	$\sec A$	$\mp \csc A$	$-\sec A$	$\pm \csc A$
$\sec$	$\sec A$	$\mp \csc A$	$-\sec A$	$\pm \csc A$	$\sec A$
$\cot$	$-\cot A$	$\mp \tan A$	$\pm \cot A$	$\mp \tan A$	$\pm \cot A$

ความสัมพันธ์ ระหว่าง ฟังก์ชัน และ มุมใน จตุรภาคที่ 1 (Relationships Among Functions of Angles in Quadrant I)

	$\sin A=u$	$\cos A =u$	$\tan A =u$	$\cot A =u$	$\sec A = u$	$\csc A =u$
$\sin A$	$u$	$\sqrt{1-u^2}$	$\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{\sqrt{u^2-1}}{u}$	$\dfrac{1}{u}$
$\cos A$	$\sqrt{1-u^2}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{1}{u}$	$\frac{\sqrt{u^2-1}}{u}$
$\tan A$	$\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}$	$\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}$	$u$	$\dfrac{1}{u}$	$\sqrt{u^2-1}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}$
$\cot A$	$\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}$	$\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}$	$\dfrac{1}{u}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}$	$\sqrt{u^2-1}$
$\sec A$	$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$	$\dfrac{1}{u}$	$\sqrt{1+u^2}$	$\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}$	$u$	$\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}$
$\csc A$	$\dfrac{1}{u}$	$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$	$\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}$	$\sqrt{1+u^2}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}$	$u$

สูตรสองเท่าของมุม (Double Angle Formulas)

1. $\sin 2A = 2\sin A\cos A$

2. $\cos 2A = \cos^2 A-\sin^2A =1-2\sin^2 A =2\cos^2A-1$

3. $\tan 2A =\dfrac{2\tan A}{1-\tan^2A}$

สูตรครึ่งนึงของมุม (Half Angle Formulas)

1. $\sin\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{2}}$

2. $\cos\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos A}{2}}$

3. $\tan\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}}$

$\tan\dfrac{A}{2} =\dfrac{\sin A}{1+\cos A} =\dfrac{1-\cos A}{\sin A} =\csc A-\cot A$

สูตรการคูณมุม (Multiple Angle Formulas)

1. $\sin 3A =3\sin A-4\sin^3A$

2. $\cos 3A = 4\cos^3 A -3\cos A$

3. $\tan 3A = \dfrac{3\tan A-\tan^3A}{1-3\tan^2A}$

4. $\sin 4A = 4\sin A\cos A -8\sin^3A\cos A$

5. $\cos 4A = 8\cos^4 A -8\cos^2A +1$

6. $\tan 4A = \dfrac{4\tan A-4\tan^3 A}{1-6\tan^2 A+\tan^4 A}$

7. $\sin 5A = 5\sin A -20\sin^3 A +16\sin^5 A$

8. $\cos 5A = 16\cos^5 A-20\cos^3A +5\cos A$

9. $\tan 5A = \dfrac{\tan^5A -10\tan^3A + 5\tan A}{1-10\tan^2 A+5\tan^4 A}$

การยกกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Powers of Trigonometric Functions)

1.  $\sin^2 A =\dfrac{1-\cos 2A}{2}$

2. $\cos^2 A =\dfrac{1+\cos 2A}{2}$

3. $\sin^3 A = \dfrac{3\sin A-\sin 3A}{4}$

4. $\cos^3 A = \dfrac{3\cos A+\cos 3A}{4}$

5. $\sin^4 A = \dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos 2A}{2}+\dfrac{\cos 4A}{8}$

6. $\cos^4 A =\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos 2A}{2}+\dfrac{\cos 4A}{8}$

7. $\sin^5 A = \dfrac{5\sin A}{8}-\dfrac{5\sin 3A}{16}+\dfrac{\sin 5A}{16}$

8. $\cos^5 A = \dfrac{5\cos A}{8}+\dfrac{5\cos 3A}{16}+\dfrac{\cos 5A}{16}$

ผลบวกและผลคูณ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Sum, Difference And Product of Trigonometric Functions)

1. $\sin A+\sin B = 2\sin\dfrac{1}{2}(A+B)\cos\dfrac{1}{2}(A-B)$

2. $\sin A -\sin B = 2\cos\dfrac{1}{2}(A+B)\sin\dfrac{1}{2}(A-B)$

3. $\cos A+\cos B = 2\cos\dfrac{1}{2}(A+B)\cos\dfrac{1}{2}(A-B)$

4. $\cos A-\cos B = 2\sin\dfrac{1}{2}(A+B)\sin\dfrac{1}{2}(B-A)$

5. $\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$

6. $\cos A\cos B = \dfrac{1}{2}\{(\cos(A-B)+\cos(A+B))\}$

7. $\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\{\sin(A-B)+\sin(A+B)\}$

สูตรรูปแบบทั่วไป (General Formulas)

1. $\sin nA = \sin A\left\{(2\cos A)^{n-1}-\binom{n-2}{1}(2\cos A)^{n-3}+\binom{n-3}{2}(2\cos A)^{n-5} -\dots \right\}$

2. $\cos nA =\dfrac{1}{2}\left\{ (2\cos A)^n -\dfrac{n}{1}(2\cos A)^{n-2} +\dfrac{n}{2}\binom{n-3}{1}(2\cos A)^{n-4} -\dfrac{n}{3}\binom{n-4}{2}(2\cos A)^{n-6}+\dots\right\}$

3. $\sin^{2n-1}A =\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{2n-2}}\left\{ \sin(2n-1)A-\binom{2n-1}{1}\sin(2n-3)A +\dots (-1)^{n-1}\binom{2n-1}{n-1}\sin A \right\}$

4. $\cos^{2n-1}A = \dfrac{1}{2^{2n-2}}\left\{\cos(2n-1)A +\binom{2n-1}{1}\cos(2n-3)A +\dots \binom{2n-1}{n-1}\cos A  \right\}$

5. $\sin^{2n}A = \dfrac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\dfrac{(-1)^n}{2^{2n-1}}\left\{\cos 2nA -\binom{2n}{1}\cos(2n-2)A +\dots (-1)^{n-1}\binom{2n}{n-1}\cos 2A  \right\}$

6. $\cos^{2n}A =\dfrac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\dfrac{1}{2^{2n-1}} \left\{ \cos 2nA+\binom{2n}{1}\cos (2n-2) A+\dots + \binom{2n}{n-1}\cos 2A  \right\}$

อินเวอร์สของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Inverse Trigonometric Functions)

ค่าที่สำคัญสำหรับ อินเวอร์ส ของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Principal Values for Inverse Trigonometric Functions)

ค่าที่สำคัญ สำหรับ $x\geq 0$	ค่าที่สำคัญสำหรับ $x<0$
$0\leq \sin^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{\pi}{2}\leq \sin^{-1}x<0$
$0\leq \cos^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{2}<\cos^{-1}x\leq \pi$
$0\leq \tan^{-1}x<\dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x< 0$
$0<\cot^{-1}x \leq \dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{2}<\cot^{-1}x <\pi$
$0\leq\sec^{-1}x<\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{2}<\sec^{-1}x\leq \pi$
$0<\csc^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{\pi}{2}\leq \csc^{-1}x<0$

ความสัมพันธ์ระหว่าง อินเวอร์สของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Relations Between Inverse Trigonometric Functions)

1. $\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}$

2. $\tan^{-1}x+\cot^{-1}x =\dfrac{\pi}{2}$

3. $\sec^{-1}x+\csc^{-1}x =\dfrac{\pi}{2}$

4. $\csc^{-1}x =\sin^{-1}(\dfrac{1}{x})$

5. $\sec^{-1} =\cos^{-1}(\dfrac{1}{x})$

6. $\cot^{-1}x=\tan^{-1}(\dfrac{1}{x})$

7. $\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$

8. $\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$

9. $\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$

10. $\cot^{-1}(-x) = \pi -\cot^{-1}x$

11. $\sec^{-1}(-x)=\pi -\sec^{-1}x$

12. $\csc^{-1}(-x)=-\csc^{-1}x$

กราฟ อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Graphs of Inverse Trigonometric Functions)

$y=\sin^{-1} x$	$y=\cos^{-1} x$
$y=\tan^{-1} x$	$y=\cot^{-1} x$
$y=\sec^{-1} x$	$y=\csc^{-1} x$

ความสัมพันธ์ระหว่าง ด้าน และมุม ของระนาบ สามเหลี่ยม  (Relationships Between Sides and Angles of A Plane Triangle)

ความสัมพันธ์ของ สามเหลี่ยม $ABC$ ด้าน $a,b,c$ และ มุม $A,B,C$

1. กฎของ Sines

$\dfrac{a}{\sin A} =\dfrac{b}{\sin B} =\dfrac{c}{\sin C}$

2. กฎของ Cosines

$c^2 =a^2+b^2-2ab\cos C$

ใช้ได้กับความสัมพันธ์ ระหว่างมุม และด้านอื่นๆ

3. กฎของ Tangents

$\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\tan \dfrac{(A+B)}{2}}{\tan \dfrac{(A-B)}{2}}$

ใช้ได้กับความสัมพันธ์ ระหว่างมุม และด้านอื่นๆ

4. $\sin A =\dfrac{2}{bc}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

เมื่อ $s=\dfrac{(a+b+c)}{2}$  โดย $s$ คือค่าครึ่งหนึ่ง ของความยาวของรูป สามเหลี่ยม (semiperimeter)

ความสัมพันธ์ ระหว่าง ด้าน และ มุม ของ สามเหลี่ยมบนทรงกลม (Relationships between Sides and Angles of a Spherical Triangle)

สามเหลี่ยมบนทรงกลม $ABC$ คือ สามเหลี่ยมที่อยู่บนพื้นผิวของทรงกลม ดังแสดงในรูป ด้าน $a,b,c$ คือด้านที่วัดจากมุมที่ยืดออก จากจุด ศูนย์กลาง $O$ ของทรงกลม $A,B,C$ เป็นมุมตรงข้ามของด้าน $a,b,c$ ตามลำดับ ดังนั้นผลที่ได้คือ

1. กฎของ Sines

$\dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C}$

2. กฎของ Cosines

$\cos a = \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$

$\cos A = -\cos B\cos C +\sin B\sin C\cos a$

ใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆเช่นกัน
3. กฎของ Tangents

$\dfrac{\tan\dfrac{(A+B)}{2}}{\tan\dfrac{(A-B)}{2}}=\dfrac{\tan\dfrac{a+b}{2}}{\tan\dfrac{(a-b)}{2}}$

ความสัมพันธ์ ใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ อีกเช่นกัน

4. $\cos\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{\sin s\sin (s-c)}{\sin b\sin c}}$

เมื่อ $s=\dfrac{(a+b+c)}{2}$ ความสัมพันธ์สามารถใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ

5. $\cos\dfrac{a}{2} =\sqrt{\dfrac{\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}$

เมื่อ $S=\dfrac{(A+B+C)}{2}$ ความสัมพันธ์สามารถใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ

แนวความคิดพื้นฐานทางพีชคณิต จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม (Natural Numbers and Integers)

จำนวนธรรมชาติ และ จำนวนเต็ม (Natural Numbers and Integers)

ในทางพีชคณิต เราสามารถระบุจำนวน แบบเฉพาะเจาะจงได้ ในกรณีนี้ เราจะพูดถึง เซต ของจำนวน อยู่ 2 ประเภทคือ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม โดยเราพิจารณาเซตเฉพาะได้ดังต่อไปนี้

เซตของจำนวนนับ $\{1,2,3,4,\dots \}$ ในทางคณิตศาสตร์ เซต ดังกล่าวนั้นจะถูกเรียกว่า จำนวนธรรมชาติ (natural numbers) และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $N$ เซตของ จำนวนเต็ม (integers) คือเซตที่รวมจำนวน ธรรมชาติ จำนวนลบของจำนวนธรรมชาติ และ ศูนย์ โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทนคือ $I$

$I =\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$

ข้อสังเกตระหว่าง เซต สองทั้งสองคือ เซตของ จำนวนธรรมชาตินั้น เป็นสับเซตของ เซตของจำนวนเต็ม

$N\subset I$

ในหัวข้อนี้ เราจะมาพูดถึง กฎที่ครอบคลุมการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ของจำนวนเต็ม อย่างแรกที่เราจะพูดถึงกันก็คือ แนวความคิดเรื่อง ค่าสมบูรณ์ (absolute value)

ค่าสมบูรณ์ของตัวเลข $x$ เขียนแทนได้ด้วย $|x|$ และค่าเท่ากับ

• $|x|$ คือ $x$ ถ้า มีค่ามากกว่าหรือ เท่ากับ ศูนย์
• $|x|$ คือ $-x$ ถ้า $x$ มีค่าน้อยกว่า ศูนย์

ค่า สมบูรณ์ของตัวเลขนั้น จะมีค่าเป็นบวกหรือ เป็นศูนย์ของตัวเลขนั้น โดยค่าสมบูรณ์ของจำนวนที่เป็นลบ นั้น จะถูกเปลี่ยนเครื่องหมายให้เป็น บวกเสมอ เช่น

• ค่าสมบูรณ์ ของ $3$ คือ $3$
• ค่าสมบูรณ์ของ $0$ คือ $0$
• ค่าสมบูรณ์ของ $-2$ คือ $2$

กฎพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ที่สัมพันธ์กับจำนวเต็ม หรือกฎโดยทั่วไปที่ใช้ตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม คือ

กฎข้อที่ 1	ตัวอย่าง
การบวก จำนวนเต็ม สองจำนวนหรือมากกว่า และมีเครื่องหมายเดียวกัน ผลลัพธ์ของการบวกนั้น จะได้ค่าเครื่องหมาย ที่เหมือนกับจำนวน เริ่มต้น	$(-27)+(-6)=-33$ $-6+(-5)+(-9)=-20$

กฎข้อที่ 2	ตัวอย่าง
การบวก จำนวนเต็ม สองจำนวนที่ มีเครื่องหมาย ต่างกัน ถ้าค่าสมบูรณ์ของตัวเลขที่น้อยกว่า          ลบออกจากค่าสมบูณ์ ของตัวเลขที่มากกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ จะได้เครื่องหมายของเดียวกันกับ  ตัวเลขของค่าสมบูรณ์ที่มากกว่า	-23+15=-8$ $45+(-29) =16$

ตัวอย่าง

จงบวกจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

$(-21)+7+(-8)+(-13)+12 $

อันดับแรกทำการบวก ตัวเลขที่เป็นจำนวนลบ โดยใช้ค่าสมบูรณ์ของจำนวนลบนั้นบวกกัน

$21+8+13 = 42$

ดังนั้น

$(-21)+(-8)+(-13) = -42$

ทำการบวกจำนวนตัวเลขที่เป็นบวก

$7+12=19$

ใช้กฎข้อที่ 2 $42-19 = 23$ ดังนั้น

$(-42)+19=-23$

ก่อนที่จำทำการลบจำนวนเต็ม เราควรเข้าใจความหมายของ อินเวอร์สของจำนวน  (inverse of a number) อินเวอร์สการบวก (additive inverse) คือจำนวนที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามอยู่ด้านหน้า ของจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น additive inverse ของ $7$ คือ $-7$ additive inverse ของ $-5$ คือ $5$ ข้อสังเกต additive inverse ของ $0$ คือ $0$ ดังนั้นค่า $0$ จึงไม่ใช่จำนวน บวกหรือ จำนวนลบ การบวกจำนวน กับ additive inverse ของจำนวนนั้น จะมีค่าเท่ากับ $0$ ตัวอย่าง $6+(-6)=0 , (-11)+11=0$ และ $0+0=0$  ถ้ามีเครื่องหมายลบ $-$ อยู่หน้าจำนวน additive inverse จะต้องทำการเปลี่ยนเครื่องหมายของจำนวน additive inverse เช่น $-(-8)=8$ คือ additive inverse ของ $-8$ ดังนั้น $8$ คือ additive inverse ของ $-8$ หรือ $-(-8)=8$ สามารถเขียนได้ในรูปแบบทั่วไปคือ

$-(-a)=a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนใดๆ

กฎข้อที่ 3	ตัวอย่าง
การลบจำนวนเต็ม โดยการบวกจำนวน additive inverse ของจำนวนนั้น เช่น ถ้า $a$ และ $b$ คือจำนวนเต็ม ดังนั้น $a-b=a+(-b)$	$7-(-12)=7+12=19$ $-3-22 =-3+(-22)=-25$

ถ้าเรามีจำนวนเต็ม ที่ดำเนินการบก หรือ ลบกัน เราสามารถ เปลี่ยนทั้งหมดนั้นให้เป็นการบวกได้ โดยใช้กฎข้อที่ 3 และประยุคก์ กฎในการบวกเลขของจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง

ดำเนินการ บวกและ ลบจำนวนดังต่อไปนี้

$-8-19+29-(-40)+(-11)$

เปลี่ยน $19$ ไปเป็น $(-19)$ และ $-40$ ไปเป็น $40$ และเปลี่ยนการดำเนินการ ก่อนที่จะทำการบวกกัน

$-8-19+29-(-40)+(-11)=-8+(-19)+29+40+(-11)$

$= -8+(-19)+(-11)+29+40$

$= -38+69$

$=31$

เมื่อเราทำการบวกตัวเลข เราสามารถใช้คำเรียกการบวกนั้นได้ว่า terms เช่น $7+(-16)=-9$ terms ก็คือ $7$ และ $-16$ ส่วน $-9$ นั้นเราจะเรียกว่า ผลรวม (sum) แต่เมื่อเราทำการคูณ ตัวเลขที่เราทำการคูณ จะถูกเรียกว่า factors เช่น $5*8=40$ ดังนั้น factors ก็คือ $5$ และ $8$ ส่วนผลลัพธ์ที่ได้นั้น จะถูกเรียกว่า ผลคูณ (product)  

กฎข้อที่ 4	ตัวอย่าง
ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวน ถ้าเครื่องหมายเหมือนกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเป็นบวก	$16\times 5 =80$ $(-3)\times (-14)=42$

กฎข้อที่ 5	ตัวอย่าง
ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวน ถ้าเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเป็นลบ	$13\times (-3) = -39$ $(-4)\times 16 =-64$

แต่เมื่อเรา ทำการคูณ จำนวนเต็มมากกว่า สองจำนวน เราจะพิจารณาโดย ทำการคูณทีละสองจำนวนในแต่ละครั้ง โดยจากทางซ้ายมือก่อน และผลคูณของ แต่ละครั้งนั้น ก็จะนำไปคูณกับตัวเลขถัดไป จน การคูณนั้นเสร็จสิ้น

ตัวอย่าง

จงทำการคูณตัวเลขดังต่อไปนี้

$(-5)\times (3)\times (-2)\times (-4)$

$(-15)\times (-2)\times (-4)$

$(30)\times (-4)$

$-120$

จากการดำเนินการของตัวอย่างที่กล่าวมา เราสามารถตรวจจับรูปแบบ และทำนายเครื่องหมายของผลคูณได้ดังนี้

กฎพื้นฐาน ในข้อที่ 4 และ 5	ตัวอย่าง
ถ้าตัวเลขของ factors ที่เป็นลบ นั้นมีจำนวนเป็นจำนวนคู่ ผลคูณที่ได้ นั้นจะมีค่าบวก เสมอ	$(-5)(11)(-2) = 110$ $(-2)(3)(-5)(-1)(-5) = 150$ $(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=64$
ถ้าตัวเลขของ factors ที่เป็นลบ นั้นมีจำนวนเป็นจำนวนคี่ ผลคูณที่ได้จะมีค่าเป็น ลบเสมอ	$(-12)(9)=-108$ $(1)(-4)(-7)(2)(-1)=-56$ (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=-120

ข้อสังเกต factors ของจำนวนที่เป็นบวก นั้นไม่มีผลกระทบ กับเครื่องหมายของผลคูณ

กฎข้อที่ 6	ตัวอย่าง
ผลคูณของจำนวนศูนย์ กับจำนวนเต็มอื่นๆ มีค่าเท่ากับ $0$ เสมอ	$(-45)(0)=0$ $(0)(-20)(-12)(7)=0$

เมื่อ factors ทั้งหมดของผลคูณนั้น เป็นตัวเลขเดียวกัน เราสามารถเขียนให้สั้นลงได้ด้วย ตัวเลขยกกำลัง (power notation) หรือ เอกซ์โพเนนเซียล (exponential notation) เช่น  $2.2.2.2.2$ เราสามารถเขียนได้เป็น $2^5$ เมื่อ $2$ เป็น factor การคูณ และเราจะเรียกว่า ฐาน (base) และ $5$  นั้นคือจำนวนของ factors จะถูกเรียกว่า กำลัง (power) หรือ เอกซ์โพเนน (exponent) ตัวเลขที่แสดง $2^5$ จะอ่านว่า สอง ยกกำลัง ห้า เช่น

$3.3.3.3 = 3^4 = 81$ อ่านว่า สามยกกำลังสี่

$5.5.5 = 5^3 = 125$ อ่านว่า ห้ายกกำลังสาม

สามารถเขียนในรูปทั่วไปได้ดังนี้

$a^n =a.a.a.\dots a$ เมื่อ $a$ จำนวนใดๆ และ $n$ คือจำนวนธรรมชาติ

ข้อสังเกตุ

เมื่อฐานเป็นลบ เราสามารถใส่เครื่องหมายวงเล็บได้ที่เลขฐาน และเขียน เลขยกกำลังไว้ด้านนอกของ วงเล็บ พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ $(-5)^2=(-5)(-5) = 25$ ฐานคือ $-5$ ใน $-5^2 = -(5.5)=-25$ ดังนั้นเลขยกกำลัง $2$ นั้นจะยกกำลังเฉพาะเลข $5$ เท่านั้น ไม่ได้ยกกำลังเครื่องหมายลบ ที่อยู่หน้าเลขฐานด้วย เราเลยเขียนเครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบหลังจากเราได้ผลของ $5^2$ แล้ว

ตัวอย่าง

1. $(-13)^2$

$(-13)^2 =(-13)(-13) = 169$

2. $-6^3$

$-6^3 = -(6.6.6) = -216$

ในการหารนั้น $6\div 2 =3$ เราจะเรียกว่า การหาร (dividend) โดย $2$ นั้นเรียกว่า ตัวหาร (divisor) และ $3$ นั้นเรียกว่า ผลหาร (quotient) ดังนั้นเราจึงพูดได้ว่า $6$ นั้นถูกหาร ด้วย $2$ และในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะ กรณี จำนวนเต็มหนึ่ง จำนวน ถูกหารด้วยจำนวนอื่นๆ

กฎข้อที่ 7	ตัวอย่าง
ผลหารของจำนวนเต็ม สองจำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน จะมีเครื่องหมายเป็นบวก	$48\div 3=16$ $-56/(-2)=28$

กฎข้อที่ 8	ตัวอย่าง
ผลหารของจำนวนเต็ม สองจำนวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน จะมีเครื่องหมายเป็นลบ	$-45/15 = -3$ $52\div (-4) = -13$

เราสามารถตรวจสอบคำตอบ จากการหาร โดยกำหนดได้จาก

(ตัวที่ถูกหารหาร)= (ผลหาร). (ตัวหาร)

เช่น เมื่อ $52\div (-4) = -13 $ เป็นจริง เพราะว่า $52=(-13)(-4)$

กฎข้อที่ 9	ตัวอย่าง
1. $0$ หารด้วยจำนวนเต็มใดก็ตามที่ไม่ใช่ $0$ ผลหารทีได้ จะมีค่าเท่ากับ $0$	$0\div 5 =0$ $0/(-24) = 0$
2. เราไม่สมารถนำตัวเลขใดๆ มาหารด้วย $0$ ได้	$7\div 0$ ไม่นิยาม $0/0$ ไม่นิยาม

ดังนั้น เราตรวจสอบจากกระบวนการบางอย่างได้ $(-24)(0)=0$ เราสามารถเขียนใหม่ได้ว่า $0/(-24) =0$ ในทางกลับกัน ถ้าเราพยายามหาคำตอบของ $7\div 0$ เราก็เจอกับปัญหามากมาย และ มีข้อผอดพลาด เช่น $7\div 0 = 0$ ตรวจสอบ จะได้ $(0).(0)\neq 7$ เราจะเห็นว่า ไม่เป็นความจริง หรือเป็นไปไม่ได้ที่เราจะหาคำตอบจาก $0/0$ ดังนั้น $( ).0 =0$ ไม่ว่าตัวเลขใดๆก็ตามที่ใส่เข้าไปในวงเล็บ แล้วเราหาคำตอบของตัวเลขนั้น จะได้ $0/0=()$ ดังนั้นมันไม่มีคำตอบ เราจึงพูดได้ว่า การหารตัวเลขใดๆก็ตามด้วย $0$ หรือ $0/0$ นั้น ไม่นิยาม

หลีกเลี่ยงความผิดพลาดดังต่อไปนี้

ไม่ถูกต้อง	ถูกต้อง
1. จำนวนลบ สองจำนวนสามารถสร้างจำนวนที่เป็นบวกได้	ผลบวกของจำนวนลบสองจำนวน คือ จำนวนลบ $(-5)+(-8) = -13$ ผลคูณ หรือ ผลหาร ของ จำนวนลบ สองจำนวน นั้นมีค่าเป็นบวก $(-12).(-8) = 96$ $(-54)\div (-3) = 18$
2. $-3^2 = 9$	$(-3)^2 = (-3).(-3) = 9$
3. $5/0 = 0$	$5/0$ นั้นไม่นิยาม
4. $0/0 = 0$	$0/0$ นั้นไม่นิยาม

เซต แนวความคิดพื้นฐาน ทางพีชคณิต

1. เซต (Set)

หนึ่งในแนวคิดสำคัญทางคณิตศาสตร์นั้นก็คือ เซต (Set) เซตนั้นคือ ตัวเก็บค่า หรือวัตถุหนึ่งๆ เช่น เซต ที่บรรจุค่าของตัวเลข จำนวนนับ จาก $1$ ถึง $5$ เราสามารถเขียนได้เป็น

$\{1,2,3,4,5\}$

ตัวเลขที่อยู่ในเซตนั้น จะถูกเรียกว่า องค์ประกอบ (elements) หรือ สมาชิกของ (members) เซต และเราแบ่ง สมาชิกต่างๆในเซตนั้นได้ด้วย คอมมา (commas) ที่อยู่ในวงเล็บปีกกา $\{\}$ ลักษณะแบบนี้ถูกเรียกว่า สัญลักษณ์ของเซต โดยส่วนใหญ่แล้ว เราจะเขียนชื่อของเซต ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ พิมพ์ใหญ่ เช่น

$A=\{1,2,3,4,5\}$

เมื่อเรา พูดถึง เซต $A$ เราจะรู้ว่าเราจะอ้างถึงเซต $\{1,2,3,4,5\}$

ถ้าเราต้องการระบุโดยเฉพาะเจาะจงว่า $2$ นั้นเป็น สมาชิกของ เซต $A$ เราสามารถเขียนแสดงได้ดังนี้

$2\in A$

ถ้าเราต้องการเขียนแสดงว่า $8$ ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต $A$ เราจะเขียนได้

$8\not\in A$


พิจารณาเซต $B=\{2,4\}$ โดยที่แต่ละสมาชิกของเซต $B$ นั้นเป็นสมาชิกของเซต $A$ เช่นกัน เราสามารถกล่าวได้ว่า เซต $B$ เป็น วับเซตของ $A$ และเขียนได้ดังนี้

$B\subset A$

เมื่อ $B$  นั้นถูกบรรจุใน เซต $A$ บางครั้งเราสามารถเขียนแสดงได้ด้วยรูปภาพด้านล่างนี้

ในทางกลับกัน เมื่อพิจารณาเซต $C=\{1,3,5,7\}$ โดยที่ $7\in C$ แต่ $7\not\in A $ เซต $C$ จึงไม่เป็นซับเซต (Subset) ของ $A$  โดยเราเขียนแสดงได้ดังนี้

$C\not\subset A$


ข้อสังเกตุ ความแตกต่างระหว่างการใช้ $\in$ และ $\subset$ คือ เราจะนำ $\in$ มาใช้กับ สมาชิก (element)  และ $\subset$ นั้นนำมาใช้กับ เซต (Set) นั่นเอง

ตัวอย่าง 

พิจาณาเซต $F=\{1,3,5,7,9\} $ $G=\{3,5\}$ และ $J=\{3,4,5\}$ จากข้อความที่กำหนดให้ด้านล่างนี้ ข้อใดเป็นจริง ข้อใดเป็น เท็จ

1. $G \subset F$

ตอบ เป็นจริง เพราะแต่ละสมาชิก ของ $G$ นั้นเป็นสมาชิกของเซต $F$

2. $J \subset F$

ตอบ เป็นเท็จ เพราะ $4$ ที่เป้นสมาชิกของเซต $J$ ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต $F$

3. $J \subset J$

ตอบ เป็นจริง เพราะแต่ละสมาชิกของเซต $J$ ก็คือสมาชิกของ เซต $J$

ข้อสังเกตุ  ทุกๆเซตนั้นเป็นสับเซตของตัวมันเอง ดังนั้น ถ้า $A$ เป็นเซต ดังนั้น $A\subset A$

ความน่าสนใจอีกอย่างหนึ่ง ของเซตนั้นก็คือ เซตว่าง (empty set) โดยเซตดังกล่าวนั้น ไม่ได้บรรจุ สมาชิกใดไว้เลย โดยเซตดังกล่าวน้นถูกแสดงได้โดยการเขียนสัญลักษณฺ ดังนี้ $\{\}$ หรือ $\emptyset$ ($\emptyset$ เป็นอักษรกรีซ phi ออกเสียงได้คือ fee) ตัวอย่างของเซตว่าง คือ เซตที่บรรจุ จำนวนนับ ที่มีค่าระหว่าง $2$ ถึง $3$ พิจารณา เซต $A=\{1,2\}$  เราสามารถพูดได้ว่า $\emptyset \subset A$ เพราะ ถ้า $\emptyset $ ไม่ได้เป็นซับเซต ของ $A$ ดังนั้นแสดงว่า ควรจะมีสมาชิกของ $\emptyset$ ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต $A$ แต่ปรากฏว่า $\emptyset$ นั้นไม่มีสมาชิกใดเลย ไม่เป็นสมาชิกของ เซต $A$  เราจึงพูดได้ว่า เซตว่าง นั้นเป็นสับเซตของทุกเซต 

ดังนั้นเมื่อเราพิจารณาเฉพาะ เซต จำกัด ซึงเป็นเซต ที่มีจำนวนสมาชิกแบบจำกัด แต่เมื่อเซต ของจำนวนนับ ที่เขียนแสดงได้ด้วย

$N=\{1,2,3,4,\dots\}$

เซต $N$ นั้นเป็นเซต แบบไม่จำกัด เพราะ จำนวนสมาชิกใน เซต ไม่มีขอบเขตจำกัด เราสามารถเขียนแสดงได้ด้วย ตัวเลขเริ่มต้นจำนวนบางส่วน โดยสร้าง รูปแบบ และเขียนต่อท้ายด้วยจุดสามจุด โดยรูปแบบดังกล่าวนั้นจะแสดงต่อเนื่องแบบไม่สิ้นสุด ยกตัวอย่าง เซตไม่จำกัด คือเซตของ จำนวนนับที่เป็น เลขคู่ทั้งหมด คือ :

$E =\{2,4,6,8,\dots\}$

นอกจากนั้นเรายังสามารถใช้จุดสามจุด เมื่อ เซนนั้น เป็น เซนจำกัด ได้เมื่อเซตนั้นประกอบด้วย จำนวนสมาชิกจำนวนมาก เช่น เซตของ จำนวนนับ $100$ เลขแรก สามารถเขียนได้ด้วย

$P=\{1,2,3,4,\dots ,100\}$

ตัวอย่าง

พิจารณาเซต  ดังต่อไปนี้ $N=\{1,2,3,4,\dots \}$ $E=\{2,4,6,8,\dots\}$ และ $A=\{1,2,3,4,5\}$ โดยกำหนดข้อความด้านล่างดังต่อไปนี้ จงหาว่า ข้อใด ถูก ข้อใด ผิด

1. $E\subset N$

ถูก เพราะ สมาชิกแต่ละตัวของ $E$ นั้นเป็นสมาชิกของ $N$

2. $24 \in E$

ถูก เพราะ $24$ เป็นจำนวนคู่ และเป็นสมาชิกของ $E$

3. $N\subset A$

ผิด เพราะ $N$ นั้นบรรจุ ตัวเลข $6,7,8,\dots$ แต่ไม่ได้เป็นสมาชิกของ $A$

4. $\emptyset \subset A$

ถูก เพราะ เซตว่าง เป็นซับเซตของ ทุกเซต

เซต $2$ เซตจะเท่ากัน เมื่อ แต่ละเซตนั้น บรรจุ สมาชิกที่เหมือนกัน ทุกประการ เช่น เซต

$X=\{2,7,9\}$ และ $Y=\{7,2,7,9\}$

เป็นเซต ที่มีค่าเท่ากัน เพราะแต่ละเซตนั้น มีสมาชิกเหมือนกัน คือ $2,7,$ และ $9$ โดย แต่ละอันนั้น จัดเรียงไม่เหมือนกัน และอีก เซตนึงนั้น มีสมาชิกที่ซ้ำกัน (เซต $Y$) ก็ตาม

สมมติ ว่า เซตของสมาชิก โดยที่  เซต $D$ และ เซต $G$ ทั้งสองเซตนั้น ที่มีสมาชิกเหมือนกัน เซตดังกล่าวจะถูกเรียกว่า อินเตอร์เซกชั่น (intersection) ของ $D$ และ $G$ เขียนสัญลักษณ์ได้โดย

$D\cap G$

และสำหรับ เซต ที่นำสมาชิกของ เซต $D$ และ เซต $G$ มารวมกันในเซตเดียวกัน เซตนั้นจะถูกเรียกว่า ยูเนียน (union) ของ $D$ และ $G$ จะเขียนสัญลักษณ์ได้ด้วย

$D\cup G$

ตัวอย่าง เรากำลังมองหางาน และในความคิดของเรานั้น แบ่งงานออกเป็น สอง เซต และ กำหนดเซตที่ หนึ่งว่า $M$  (สำหรับเงิน Money) โดยจะแสดงเซตของ งานที่จ่ายเงินดี ส่วนอีก หนึ่งเซตนั้น จะเป็นเซตของงาน ที่มีที่ตั้งเหมาะสม แล้วเราจะกำหนดให้เป็นเซต $L$ เมื่อเรามองหางานเรา เราอาจจะต้องการงานอย่างใดอย่างหนึ่ง ตามที่เรากำหนดเป็นเซตไว้ หรืออาจจะต้องการงานตามเงื่อนไขทั้งสองอย่าง  ดังนั้นเซต ที่บรรจุ เงื่อนไขทั้งสองอย่างตามที่เรากำหนดไว้ นั่นก็คือ อินเตอร์เซกชั่น เซต

$M\cap L$

ตามสัญลักษณ์ด้านบนนั้น คืองานที่ต้องมีคุณสมบัติทั้งสองอย่าง คือ $M$ (เงินดี) และ เซต $L$ (ที่ตั้งดี) แต่เมื่อเรามองค้นหางานดังกล่าวแล้ว เราไม่สามารถมองหางานที่มีคุณสมบัติพร้อมกัน ทั้งสองเซตได้เลย ดังนั้น เราจึงต้องพิจารณา หาเฉพาะเงื่อนไขใดเงื่อนไขนึง หรือทั้งสอง เงื่อนไข ในกรณีนี้ เซต ของงานดังกล่าวที่เราพิจารณา คือ ยูเนียน เซต ทั้งสองเซต $M$ และ $L$

$M\cup L$

ตัวอย่างอื่นๆ $S=\{1,2,3,5\}$  และ $T=\{ -2, 0,2,4\}$  ดังนั้น อินเตอร์เซกชั่น เซต ของ เซต $S$ และ $T$ คือ $S\cap T =\{2\}$  และ ยูเนียน เซต ของ เซต $S$ และ $T$ คือ $S\cup T$ คือ $S\cup S =\{1,2,3,5,-2,0,2,4\}$  $=\{-2,0,1,2,3,4,5\}$ ดังนั้น เราจะเห็นว่า อินเตอร์เซกชั่น เซตนั้น คือ สมาชิก ของ เซตสองเซต ที่มีสมาชิกเหมือนกัน  และ ยูเนียน เซต คือ เซต ของสมาชิก ของทั้งสองเซต มารวมกัน

ตัวอย่าง

พิจารณา เซต $A=\{1,3,5,7,9\}$ $,B=\{1,2,3,4\}$ $,C=\{2,4,6,8,\dots\}$ $,D=\{4,8,12,16,\dots\}$ $,F=\{$ ผู้ชายทุกคน $\}$ และ $A=\{$ ผู้หญิงทุกคน $\}$ หา เซตต่างๆ ตามข้อความด้านล่างนี้

1. $F\cup M$

$F\cup M=\{$  คนทุกคน $\}$

2. $F\cap M$
$F\cap M =\emptyset$ เพราะทั้งสองเซตนั้นไม่มีสมาชิกที่เหมือนกัน

3. $A\cap B$
$A\cap B \{1,3\}$  เพราะว่า สมาชิก $1$ และ $3$ นั้นเป็นสมาชิกทั้ง เซต $A$ และ เซต $B$

4. $A\cup B$
$A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}$ โดยการนำสมาชิกทั้งหมดของ เซต $A$ และ เซต $B$ มารวมกัน

5. $C\cap D$
$C\cap D=\{4,8,12,16,\dots \} =D$

6. $C\cup D$
$C\cup D=\{2,4,6,8,\dots \} = C$

 ระวังข้อผิดพลาดดังต่อไปนี้ 

ไม่ถูกต้อง	ที่ถูกต้อง
1. $5\subset \{3,4,5\}$	$5\in \{3,4,5\}$
2. $\{4,5\} \in \{3,4,5\}$	$\{4,5\} \subset \{3,4,5\}$
3. เซตว่าง $=\{\emptyset \}$ (เซตนี้เซตที่ บรรจุ สัญลักษณ์  $\emptyset$ ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง)	เซตว่าง คือ $=\emptyset$ หรือ $\{\}$

Taylor Series

Taylor Series

     The Taylor series for $f(x)$ about $x=a$ is defined as
$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cfrac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\dots +\cfrac{f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}+R_n$  (1)

where $R_n=\frac{f^{(n)}(x_0)(x-a)^n}{n!},$ $x_0$ between $a$ and $x$   (2)

is called the $remainder$ and where it is supposed that $f(x)$ has derivatives of order $n$ at least. The case where $n=1$ is often called the $law of the mean$ or $mean-value theorem$ and can be written as

$\cfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(x_0)$ $x_0$ between  $a$ and $x$

     The infinite series corresponding to $(1)$ , also called the $formal Taylor series$ for $f(x)$ will converge in some interval if $\displaystyle\lim_{n\to \infty}R_n =0$ in this interval. Some important Taylor series together with their intervals of convergence are as follows.

1. $e^x= 1+x+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^4}{4!}+\dots $	$-\infty < x< \infty $
2. $\sin x=x-\cfrac{x^3}{3!} +\cfrac{x^5}{5!} -\cfrac{x^7}{7!} +\dots $	$-\infty < x< \infty $
3. $\cos x=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\dots$	$-\infty < x< \infty $
4. $\ln (1+x)=x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\dots $	$-\infty < x< \infty $
5. $\tan ^{-1}x=x-\cfrac{x^3}{3}+\cfrac{x^5}{5}-\cfrac{x^7}{7}+\dots $	$-\infty < x< \infty $

A series of the from $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$ is often called a $power series$. Such power series are uniformly convergent  in any interval which lies entirely within the interval of convergence  

Functions Of Two Or More Variables

     The for example $z=f(x,y)$ defines a function $f$ which assigns to the number pair $(x,y)$ the number $z$ .

     Example If $f(x,y)=x^2+3xy+2y^2$ then $f(-1,2)=(-1)^2+3(-1)(2)+2(2)^2 =3$ 

     The student is familiar with graphing $z=f(x,y)$ in a 3-dimensional $xyz$ coordinate  system to obtain a $surface $. We sometimes call $x$ and $y$ $independent$ variable  and $z$ a symbol $z$ in two different sense . However , no confusion should result .

     The ideas of limits and continuity for functions of two or more variables pattern closely those for one variable.   

Partial

     The partial derivatives of $f(x,y)$ with respect to $x$ and $y$ are defined by

$\cfrac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to \infty}\cfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\cfrac{\partial f}{\partial y}=\lim_{k\to \infty}\cfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$   $\dots$ (1)

     if these limits exist . We often write $h=\bigtriangleup x,k\bigtriangleup y$ . Note that $\partial f/\partial x$ is simple the ordinary derivative of $f$ with respect to $x$ keeping $y$ constant , while $\partial f/\partial y$ is the ordinary derivative of $f$ with respect to $y$ keeping $x$ constant.

     Example If $f(x,y)=3x^2-4xy+2y^2$ then $\cfrac{\partial f}{\partial x}=6x -4y,\cfrac{\partial f}{\partial y}=-4x+4y$

     Higher derivatives are defined similarly . For example , we have the second order derivatives

$\cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial f}{\partial x}\right)=\cfrac{\partial^2f}{\partial x^2},\cfrac{\partial }{\partial x}\left(\cfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\cfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ ,$\cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial f}{\partial x}\right)=\cfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x},\cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\cfrac{\partial^2f}{\partial y^2}$   $\dots$(2)

     The derivatives in (1) are sometimes denoted by $f_x$ and $f_y$ . In such case $f_x(a,b),f_y(a,b)$ denote these partial derivatives evaluated at $(a,b)$. Similarly the derivatives in (2) are denoted by $f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$ respectively . The second and third results in (2) will be the same if $f$ has continuous partial derivatives of second order at least .

     The $differential $ of $f(x,y)$ is defined as

$df =\cfrac{\partial f}{\partial x}dx+\cfrac{\partial f}{\partial y}dy$   $\dots$ (3)

where $h=\bigtriangleup x=dx,k=\bigtriangleup y =dy$.

Generalizations of these results are easily made.

Taylor Series For Functions Of  Two Or More Variables 

     The ideas involved in Taylor series for functions of one variable can be generalize 

     For example ,the Taylor series for $f(x,y)$ about $x=a,y=b$ can be written 

$f(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\cfrac{1}{2!}[f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2]+\dots $ (4)  

Solutions Of Algebraic Equations

Quadratic Equation : $ax^2 +bx +c=0$

1. $x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

If $a,b,c$ are real and if  $D=b^2-4ac$ is the $discriminant$, then the roots are 

     (i) real and unequal if $D>0$

     (ii) real and equal if $D=0$

      (iii) complex conjugate if $D<0$

2. If $x_1,x_2$ are roots , then $x_1+x_2=-b/a$ and $x_1x_2=c/a$

Cubic Equation : $x^3+a_1x^2 +a_2x+a_3=0$

Let       $Q =\cfrac{3a_2-a_1^2}{9} , R=\cfrac{9a_1a_2 -27a_3 -2a_1^3}{54},$

              $S=\sqrt[3]{R+\sqrt{Q^3+R^3}} , T=\sqrt[3]{R -\sqrt{Q^3+R^3}}$

1. Solutions :                $\begin{cases} x_1 = S+T-\cfrac{1}{3}a_1 \\ x_2 = -\cfrac{1}{2}(S+T) -\cfrac{1}{3}a_1 +\cfrac{1}{2}i\sqrt{3}(S-T) \\ x_3 =-\cfrac{1}{2}(S+T)-\cfrac{1}{3}a_1 -\cfrac{1}{3}i\sqrt{3}(S-T)   \end{cases}$

If $a_1,a_2,a_3$ are real and if $D=Q^3+R^2$ is the $discriminant$, then 

     (i) one root real and two complex conjugate if $D>0$

     (ii) all roots are real and at least two are equal if $D=0$

     (iii) all roots are real and unequal if $D<0$

If $D<0$, computation is simplified by use of trigonometry .

2. Solutions if $D<0 :   \begin{cases}x_1 = 2\sqrt{-Q}\cos(\cfrac{1}{3}\theta)-\cfrac{1}{3}a_1 \\ x_2 =2\sqrt{-Q}\cos(\cfrac{1}{3}\theta +120^\circ)-\cfrac{1}{3}a_1 \\ x_3=2\sqrt{-Q}\cos(\cfrac{1}{3}\theta +240^\circ)-\cfrac{1}{3}a_1  \end{cases}  $ where $\cos \theta =R/\sqrt{-Q^3}$

3. $x_1+x_2+x_3 =-a_1 ,x_1x_2 +x_2x_3+x_3x_1 =a_2, $  $x_1x_2x_3 =-a_3$

where $x_1,x_2,x_3$ are the three roots .

Quartic Equation : $x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$

Let $y_1$ be a root of the cubic equation 

1. $y^3-a_2y^2 +(a_1a_3-4a_4)y+(4a_2a_4-a_3^2-a_1^2a_4)=0$

2. Solutions : The 4 roots of $z^2+\cfrac{1}{2}\{a_1\pm\sqrt{a_1^2 -4a_2+4y_1}\}z+\cfrac{1}{2}\{y_1\mp\sqrt{y_1^2-4a_4}\}=0$

     If all roots of 1 are real , computation is simplified by using that particular real root which produces all real coefficients in the quadratic equation 2 

3.  $\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=-a_1 \\ x_1x_2 +x_2x_3 +x_3x_4 +x_4x_1 +x_1x_3 +x_2x_4 =a_2 \\ x_1x_2x_3 +x_2x_3x_4 +x_1x_2x_4 +x_1x_3x_4 =-a_3 \\ x_1x_2x_3x_4=a_4  \end{cases}$ 

where $x_1,x_2,x_3,x_4$ are the four roots .  

Trigonometric Functions

Definition Of Trigonometric Functions For A Right Triangle 

     Triangle $ABC$ has a right angle ($90^circ$) at $C$ and sides of length $a,b,c$ . The trigonometric functions of angle  $A$ are defined as follows.

$1. \sin \text{of} A =\sin A =\cfrac{a}{c} =\cfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$

$2. cosine \text{of} A = \cos A =\cfrac{b}{c} =\cfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

$3. tangent \text{of} A =\tan A =\cfrac{a}{b} =\cfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$

$4. cotangent \text{of} A=\cot A=\cfrac{b}{a}=\cfrac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}$

$5. secant \text{of} A=\sec \cfrac{c}{b}=\cfrac{hypotenuse}{\text{adjacent}}$

$6. cosecant \text{of} A=\sec A=\cfrac{c}{a}=\cfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} $

Extensions To Angles Which May Be Greater Than $90^\circ$

     Consider an $xy$ coordinate system . A point  $P$ in the $xy$ plane has  coordinates $(x,y)$ where $x$ is considered as positive along $OX$ and negative along $OX'$ while $y$ is positive along $OY$ and negative along $OY'$ . The distance from origin $O$ to point $P$ is positive and denoted by $r=\sqrt{x^2+y^2}$. The angle $A$ described $counterclockwise$ from $OX$ is considered $positive$ . If it is described $clockwise$ from $OX$ it is considered $negative$. We call $X'OX$ and $Y'OY$ the $x$ and $y$ axis respectively .

     The various quadrants are denotes by I,II,III and IV called the first , second, third and fourth quadrants respectively . In Fig 1 for example, angle $A$ is in the second quadrant while in Fig 2 angle $A$ is in the third quadrant .

$1. \sin A= y/r$

$2. \cos A= x/r$

$3. \tan A=y/x$

$4. \cot A=x/y$

$5. \sec A=r/x$

$6. \csc A=r/y$

Relationship Between Degrees And Radians 

     A $radian$ is that angle $\theta$ subtended at center $O$ of a circle by an arc $MN$ equal to the radius $r$.
     Since $2\pi$ radians = $360^\circ$ we have

1. $1$ radian = $180^\circ /\pi = 57.29577\; 95130\; 8232\; \dots ^\circ$

2. $1^\circ =\pi /180 $ radians = $0.0175\; 32925\; 19943\; 29576\; 92\dots $ radians

Relationships Among Trigonometric Functions 

$1. \tan A=\cfrac{\sin A}{\cos A}$

$2. \cot A=\cfrac{1}{\tan A}=\cfrac{\cos A}{\sin A}$

$3. \sec A=\cfrac{1}{\cos A}$

$4. \csc A=\cfrac{1}{\sin A}$

$5. \sin ^2A+\cos ^2A=1$

$6 \sec ^2-\tan ^2 A=1$

$7. \csc ^2A-\cot ^2 A=1$

Sum ,Difference And Product Of Hyperbolic Functions 

$1. sinh x+ sinh y= 2sinh\cfrac{1}{2}(x+y)cosh \cfrac{1}{2}(x-y)$

$2. sinh x-sinh y=2cosh\cfrac{1}{2}(x+y)sinh \cfrac{1}{2}(x-y)$

$3. cosh x+cosh y=2cosh\cfrac{1}{2}(x+y)cosh\cfrac{1}{2}(x-y)$

$4. cosh x-cosh y =2sinh\cfrac{1}{2}(x+y)sinh\cfrac{1}{2}(x-y)$

$5. sinh xsinh y =\cfrac{1}{2}\{cosh(x+y)-cosh(x-y)\}$

$6. cosh xcosh y =\cfrac{1}{2}\{cosh (x+y)+cosh (x-y)\}$

$7. sinh xcosh y=\cfrac{1}{2}\{sinh(x+y)+sinh(x-y)\}$

Form Mathematical Hanbook

Geometry Formulas

Geometry Formulas 

$A$ = area , $S$ = lateral surface area , $V$ = volume , $h$ = height , $B$ =  area of base , $r$ = radius , $l$ = slant height ,$C$ = circumference , $s$ = arc length   

Parallelogram 

$A=nh$

Triangle

$A=\cfrac{1}{2}bh$

Trapezoid 

$A=\cfrac{1}{2}(a+b)h$

Circle

$A=\pi r^2 ,C=2\pi r$

Sector

$A=\cfrac{1}{2}r^2 \theta ,s=r\theta$

Right Circular Cylinder

$V=\pi r^2 ,S =2\pi rh$

Right Circular Cone

$V=\cfrac{1}{3}\pi r^2 h, S=\pi rl$

Sphere

$V=\cfrac{4}{3}\pi r^3 , S =4\pi r^2$

from calculus


สูตรสำหรับการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงต่างๆ