พิชิตโจทย์คณิตศาสตร์ ทุกสถาบัน อนุกรมอนันต์ ที่น่าสนใจของ Log

1. จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ $\dfrac{1}{4}\log 2+\dfrac{1}{8}\log 4+\dfrac{1}{16}\log 8+\dfrac{1}{32}\log 16 + \dots$

1)  $\dfrac{1}{4}\log 2$
2)  $2\log 2$
3)  $\dfrac{1}{2}\log 2$
4)  $\log 2$

Solved

แปลง แต่ละพจน์ โดยให้เหลือแต่ $\log 2$
โดยใช้คุณสมบัติ $\log a^b =b\log a$
ได้ดังนี้

$\dfrac{1}{4}\log 2+\dfrac{1}{8}\log 2^2+\dfrac{1}{16}\log 2^3+\dfrac{1}{32}\log 2^4 \dots$

$\dfrac{1}{4}\log 2+\dfrac{2}{8}\log 2+\dfrac{3}{16}\log 2+\dfrac{4}{32}\log 2\dots$

ดึง $\log 2$ ออกมา

$\log 2\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{32}\dots \right)$  กำหนดให้เป็นสมการที่ 1

โดยกำหนดให้
$S = \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{32}+\dots$  กำหนดให้เป็นสมการที่ 2

พิจารณาค่า $S$ โดยนำ $2$ ไปคูณตลอด จะได้

$2S = \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{16}+\dots$

จัดรูปใหม่ได้เป็น

$2S = \dfrac{1}{2}+\dfrac{(1+1)}{4}+\dfrac{(1+2)}{8}+\dfrac{(1+3)}{16}+\dots$

$2S = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dots +\left(\dfrac{1}{2}+dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{16}+\dots \right)$

แทนค่าในวงเล็บ ด้วยสมการที่ 2 จะได้

$2S = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dots + S$

$S = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+ \dots$  จำหนดให้เป็นสมการที่ 3

นำ 2 คูณสมการที่ 3 โดยตลอด จะได้

$2S = 1 +\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dots$ เป็นสมการที่ 4

จากสมการที่ 4 จะเห็นว่า เราสามารถแทนค่า $S$ จากสมการที่ 3 ได้ดังนี้

$2S = 1 +\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dots$

ดังนั้นจะได้

$2S = 1+S$

$S = 1$ เป็นสมการที่ 5

นำค่า $S$ จากสมการที่ 5 ไปแทนในสมการที่ 1

จะได้

$\log 2 \times 1 = \log 2$

ตอบ $\log 2$