พิชิตโจทย์คณิตศาสตร์ ทุกสถาบัน ถ้าวงกลมสองวง $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ และ $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ นั้นทับซ้อนกันสองจุด ดังนั้นข้อใดถูกต้อง

ถ้าวงกลมสองวง $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ และ $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ นั้นทับซ้อนกันสองจุด ดังนั้นข้อใดถูกต้อง

1) $r=2$

2) $r>2$

3) $2<r<8$

4) $r<2$

วิธีทำ

เรามีวงกลมสองวง คือ

$(x-1)^2+(y-3)^2 = r^2$   วงกลมที่  1

ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมแรกคือ $(1,3)$ และมีรัศมีเท่ากับ $r$

และ

$x^2+y^2-8x+2y+8=0$   จัดรูปใหม่ได้

$(x-4)^2+(x+1)^2=3^2$    วงกลมที่ 2

ดังนั้นเราสามารถวาดรูปวงกลมทั้งสองวงได้ ด้านล่างนี้ วงกลมสองวงนั้น ต่างทับซ้อนกัน โดยมีจุดตัด 2 จุด ดังนั้นเราจึงสามารถหาความสัมพันธ์ต่างๆได้ตามด้านล่างนี้

$C_1C_2 < r_1+r_2$    และ $C_1C_1 > |r_1-r_2|$

ดังนั้น

$C_1C_2 <r+3$ และ $C_1C_2 >|r-3|$

หาความยาวของเส้นตรง $C_1C_2$ โดยใช้สมการพิทาโกรัส

$C_1C_2 = \sqrt{ (-1-3)^2+(4-1)^2 }$

$C_1C_2 = \sqrt{16+9}$

$C_1C_2 = 5$

ดังนั้น

$5<r+3$ และ $5>|r-3|$

$r > 2$ เป็นสมการที่ 1

และ

$|r-3|< 5$

ดังนั้น

$-5<r-3<5$

$-2<r<8$  เป็นสมการที่ 2

ดังนั้นนำสมการที่ 1 และที่ 2 มารวมกัน เฉพาะส่วนที่ อินเตอเซกกัน จะได้ค่า $r$ ดังนี้

ตอบ  $2<r<8$