รวมสูตร ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ Trigonometric Functions

รวมสูตร ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ Trigonometric Functions

นิยามสำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของ สามเหลี่ยมมุมฉาก (Definition Of Trigonometric Functions For a Right Triangle)

สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $(90^\circ)$ ที่ $C$  และด้านของสามเหลี่ยม $a,b,c$  ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ของมุม $A$ จะกำหนดได้ดังนี้

• $\sin A= \dfrac{a}{c}$
• $\cos A =\dfrac{b}{c}$
• $\tan A =\dfrac{a}{b}$
• $\cot A=\dfrac{b}{a}$
• $\sec A =\dfrac{c}{b}$
• $\csc A =\dfrac{c}{a}$ 

การขยายของมุมที่มีขนาดมากกว่า $90^\circ$

พิจารณา ระบบพิกัด $xy$ ในรูปด้านล่างนี้ จุด $P$ ในระนาบแกน $xy$ มีค่าพิกัดคือ $(x,y)$ เมื่อ $x$ มีค่าเป็นบวกตามแนว $OX$ และ มีค่าลบตลอด แนว $OX'$ ขณะที่ $y$ เป็นบวกตลอดแนว $OY$ และเป็นลบตลอดแนว $OY'$ ระยะทางจากจุดเริ่มต้น $O$ ไปยังจุด $P$ มีค่าเป็นบวกและสามารถเขียนแสดงได้ด้วย $r=\sqrt{x^2+y^2}$ มุม $A$ เมื่อลากผ่านโดยทวนเข็มนาฬิกา จากแนว $OX$ นั้นจะมีค่าเป็นบวก ถ้าลากผ่านตามเข็มนาฬิกาจาก $OX$ จะมีค่าเป็นลบ เราเรียก $X'OX$ และ $Y'OY$ คือแกน $x$ และ แกน $y$ ตามลำดับ

จตุรภาคเราสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ $I,II,III,IV$ หรือเรียกว่า จตุรภาคที่ 1 จตุรภาคที่ 2 จตุรภาคที่ 3 และ จตุรภาคที่ 4 ตามลำดับ ดังรูปด้านล่าง ยกตัวอย่างเช่น มุม $A$ ในจตุรภาคที่ 2 และ มุม $A$ ในจตุรภาคที่ 3



สำหรับมุม $A$ ในทุกๆจตุรภาค ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ของ $A$ คือ

1. $\sin A =\dfrac{y}{r}$

2. $\cos A =\dfrac{x}{r}$

3. $\tan A =\dfrac{y}{x}$

4. $\cot A =\dfrac{x}{y}$

5. $\sec A =\dfrac{r}{x}$

6. $\csc A =\dfrac{r}{y}$

ความสัมพันธ์ ระหว่าง องศา (Degrees) และ เรเดียน (Radians)

เรเดียน คือ ส่วนโค้ง  $MN$ ที่รองรับมุม $\theta$ ของวงกลม ที่จุดศูนย์กลาง $O$ จะมีค่า เท่ากับ $r$

เมื่อ $2\pi$ เรเดียน $= 360^\circ$ ดังนั้น

1. $1$ เรเดียน $=180^\circ\pi = 57.29557\; 95130\; 8232\;\dots ^\circ$

2. $1^\circ =\pi/180$ เรเดียน $= 0.01745\; 32925\; 19943\; 29576\; 92\;\dots$ เรเดียน

ความสัมพันธ์ระหว่าง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Relationships Among Trigonometric Functions)

1. $\tan A =\dfrac{\sin A}{\cos A}$

2. $\cot A =\dfrac{1}{\tan A} = \dfrac{\cos A}{\sin A}$

3. $\sec A =\dfrac{1}{\cos A}$

4. $\csc A =\dfrac{1}{\sin A}$

5. $\sin^2 A+\cos^2 A =1$

6. $\sec^2 A-\tan^2 A =1$

7. $\csc^2 A -\cot^2 A =1$

สัญลักษณ์และความแตกต่าง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Signs and Variations Of Trigonometric Functions)

จตุรภาค	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$	$\cot A$	$\sec A$	$\csc A$
$1$	$+$ $0$ ถึง $1$	$+$ $1$ ถึง $0$	$+$ $0$ ถึง $\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $0$	$+$ $1$ ถึง $\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $1$
$2$	$+$ $1$ ถึง $0$	$-$ $0$ ถึง $-1$	$-$ $-\infty$ ถึง $0$	$-$ $0$ ถึง $-\infty$	$-$ $-\infty$ ถึง $-1$	$+$ $1$ ถึง $\infty$
$3$	$-$ $0$ ถึง $-1$	$-$ $-1$ ถึง $0$	$+$ $0$ ถึง $\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $0$	$-$ $-1$ ถึง $-\infty$	$-$ $-\infty$ ถึง $-1$
$4$	$-$ $-1$ ถึง $0$	$+$ $0$ ถึง $1$	$-$ $-\infty$ ถึง $0$	$-$ $0$ ถึง $-\infty$	$+$ $\infty$ ถึง $1$	$-$ $-1$ ถึง $-\infty$

ค่าของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติของมุมขนาดต่างๆ (Functions Of Various Angles)

มุม $A$ (องศา)	มุม $A$ (เรเดียน)	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$	$\cot A$	$\sec A$	$\csc A$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$
$15^\circ$	$\dfrac{\pi}{12}$	$\frac{ (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
$30^\circ$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{2}$	$2$
$45^\circ$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$60^\circ$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$75^\circ$	$\dfrac{5\pi}{12}$	$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$90^\circ$	$\dfrac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\pm\infty$	$0$	$\pm\infty$	$1$
$105^\circ$	$\dfrac{7\pi}{12}$	$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$-\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$120^\circ$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$135^\circ$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$
$150^\circ$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$165^\circ$	$\dfrac{11\pi}{12}$	$\frac{()\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$\mp\infty$	$-1$	$\pm\infty$
$195^\circ$	$\dfrac{13\pi}{12}$	$-\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$-\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$210^\circ$	$\dfrac{7\pi}{6}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$-2$
$225^\circ$	$\dfrac{5\pi}{4}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$240^\circ$	$\dfrac{4\pi}{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$255^\circ$	$\dfrac{17\pi}{12}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$-(\sqrt{}6|+\sqrt{2})$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$270^\circ$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$\pm\infty$	$0$	$\mp\infty$	$-1$
$285^\circ$	$\dfrac{19\pi}{12}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(2-\sqrt{3})$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$300^\circ$	$\dfrac{5\pi}{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$315^\circ$	$\dfrac{7\pi}{4}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$330^\circ$	$\dfrac{11\pi}{6}$	$-\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$-2$
$345^\circ$	$\dfrac{23\pi}{12}$	$-\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$	$\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(2+\sqrt{3})$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$\mp\infty$	$1$	$\mp\infty$

กราฟ ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ (Graphs of Trigonometric Functions) 

$y=\sin x$	$y=\cos x$
$y=\tan x$	$y=\cot x$
$y=\sec x$	$y=\csc x$

ฟังก์ชันของมุมที่เป็น ลบ (Functions of Negative Angles)

1. $\sin(-A) = -\sin A$

2. $\cos(-A) = \cos A$

3. $\tan(-A) = -\tan A$

4. $\csc(-A) = -\csc A$

5. $\sec(-A) = \sec A$

6. $\cot(-A) = -\cot A$

สูตรการบวกมุม ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ (Addition Formulars)

1. $\sin(A\pm B) =\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$

2. $\cos(A\pm B)= \cos A\cos B\mp\sin A\sin B$

3. $\tan(A\pm B)=\dfrac{\tan A\pm\tan B}{1\mp \tan A\tan B}$

4. $\cot(A\pm B)=\dfrac{\cot A\cot B\mp 1}{\cot B\pm\cot A}$

ฟังก์ชันของมุม ในทุกจตุรภาค แปลงเป็น จตุรภาคที่ภาคที่ 1 (Function of Angle in All Quadrants in Terms of Those in Quadrant I)

	$-A$	$90^\circ \pm A$ $\dfrac{\pi}{2}\pm A$	$180^\circ \pm A$ $\pi\pm A$	$270^\circ \pm A$ $\dfrac{3\pi}{2}\pm A$	$k(360^\circ)\pm A$ $2k\pi\pm A$ $k=$ integer
$\sin$	$-\sin A$	$\cos A$	$\mp \sin A$	$-\cos A$	$\pm \sin A$
$\cos$	$\cos A$	$\mp \sin A$	$-\cos A$	$\pm \sin A$	$\cos A$
$\tan$	$-\tan A$	$\mp \cot A$	$\pm \tan A$	$\mp \cot A$	$\pm \tan A$
$\csc$	$-\csc A$	$\sec A$	$\mp \csc A$	$-\sec A$	$\pm \csc A$
$\sec$	$\sec A$	$\mp \csc A$	$-\sec A$	$\pm \csc A$	$\sec A$
$\cot$	$-\cot A$	$\mp \tan A$	$\pm \cot A$	$\mp \tan A$	$\pm \cot A$

ความสัมพันธ์ ระหว่าง ฟังก์ชัน และ มุมใน จตุรภาคที่ 1 (Relationships Among Functions of Angles in Quadrant I)

	$\sin A=u$	$\cos A =u$	$\tan A =u$	$\cot A =u$	$\sec A = u$	$\csc A =u$
$\sin A$	$u$	$\sqrt{1-u^2}$	$\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{\sqrt{u^2-1}}{u}$	$\dfrac{1}{u}$
$\cos A$	$\sqrt{1-u^2}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$	$\frac{1}{u}$	$\frac{\sqrt{u^2-1}}{u}$
$\tan A$	$\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}$	$\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}$	$u$	$\dfrac{1}{u}$	$\sqrt{u^2-1}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}$
$\cot A$	$\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}$	$\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}$	$\dfrac{1}{u}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}$	$\sqrt{u^2-1}$
$\sec A$	$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$	$\dfrac{1}{u}$	$\sqrt{1+u^2}$	$\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}$	$u$	$\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}$
$\csc A$	$\dfrac{1}{u}$	$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$	$\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}$	$\sqrt{1+u^2}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}$	$u$

สูตรสองเท่าของมุม (Double Angle Formulas)

1. $\sin 2A = 2\sin A\cos A$

2. $\cos 2A = \cos^2 A-\sin^2A =1-2\sin^2 A =2\cos^2A-1$

3. $\tan 2A =\dfrac{2\tan A}{1-\tan^2A}$

สูตรครึ่งนึงของมุม (Half Angle Formulas)

1. $\sin\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{2}}$

2. $\cos\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos A}{2}}$

3. $\tan\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}}$

$\tan\dfrac{A}{2} =\dfrac{\sin A}{1+\cos A} =\dfrac{1-\cos A}{\sin A} =\csc A-\cot A$

สูตรการคูณมุม (Multiple Angle Formulas)

1. $\sin 3A =3\sin A-4\sin^3A$

2. $\cos 3A = 4\cos^3 A -3\cos A$

3. $\tan 3A = \dfrac{3\tan A-\tan^3A}{1-3\tan^2A}$

4. $\sin 4A = 4\sin A\cos A -8\sin^3A\cos A$

5. $\cos 4A = 8\cos^4 A -8\cos^2A +1$

6. $\tan 4A = \dfrac{4\tan A-4\tan^3 A}{1-6\tan^2 A+\tan^4 A}$

7. $\sin 5A = 5\sin A -20\sin^3 A +16\sin^5 A$

8. $\cos 5A = 16\cos^5 A-20\cos^3A +5\cos A$

9. $\tan 5A = \dfrac{\tan^5A -10\tan^3A + 5\tan A}{1-10\tan^2 A+5\tan^4 A}$

การยกกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Powers of Trigonometric Functions)

1.  $\sin^2 A =\dfrac{1-\cos 2A}{2}$

2. $\cos^2 A =\dfrac{1+\cos 2A}{2}$

3. $\sin^3 A = \dfrac{3\sin A-\sin 3A}{4}$

4. $\cos^3 A = \dfrac{3\cos A+\cos 3A}{4}$

5. $\sin^4 A = \dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos 2A}{2}+\dfrac{\cos 4A}{8}$

6. $\cos^4 A =\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos 2A}{2}+\dfrac{\cos 4A}{8}$

7. $\sin^5 A = \dfrac{5\sin A}{8}-\dfrac{5\sin 3A}{16}+\dfrac{\sin 5A}{16}$

8. $\cos^5 A = \dfrac{5\cos A}{8}+\dfrac{5\cos 3A}{16}+\dfrac{\cos 5A}{16}$

ผลบวกและผลคูณ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Sum, Difference And Product of Trigonometric Functions)

1. $\sin A+\sin B = 2\sin\dfrac{1}{2}(A+B)\cos\dfrac{1}{2}(A-B)$

2. $\sin A -\sin B = 2\cos\dfrac{1}{2}(A+B)\sin\dfrac{1}{2}(A-B)$

3. $\cos A+\cos B = 2\cos\dfrac{1}{2}(A+B)\cos\dfrac{1}{2}(A-B)$

4. $\cos A-\cos B = 2\sin\dfrac{1}{2}(A+B)\sin\dfrac{1}{2}(B-A)$

5. $\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$

6. $\cos A\cos B = \dfrac{1}{2}\{(\cos(A-B)+\cos(A+B))\}$

7. $\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\{\sin(A-B)+\sin(A+B)\}$

สูตรรูปแบบทั่วไป (General Formulas)

1. $\sin nA = \sin A\left\{(2\cos A)^{n-1}-\binom{n-2}{1}(2\cos A)^{n-3}+\binom{n-3}{2}(2\cos A)^{n-5} -\dots \right\}$

2. $\cos nA =\dfrac{1}{2}\left\{ (2\cos A)^n -\dfrac{n}{1}(2\cos A)^{n-2} +\dfrac{n}{2}\binom{n-3}{1}(2\cos A)^{n-4} -\dfrac{n}{3}\binom{n-4}{2}(2\cos A)^{n-6}+\dots\right\}$

3. $\sin^{2n-1}A =\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{2n-2}}\left\{ \sin(2n-1)A-\binom{2n-1}{1}\sin(2n-3)A +\dots (-1)^{n-1}\binom{2n-1}{n-1}\sin A \right\}$

4. $\cos^{2n-1}A = \dfrac{1}{2^{2n-2}}\left\{\cos(2n-1)A +\binom{2n-1}{1}\cos(2n-3)A +\dots \binom{2n-1}{n-1}\cos A  \right\}$

5. $\sin^{2n}A = \dfrac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\dfrac{(-1)^n}{2^{2n-1}}\left\{\cos 2nA -\binom{2n}{1}\cos(2n-2)A +\dots (-1)^{n-1}\binom{2n}{n-1}\cos 2A  \right\}$

6. $\cos^{2n}A =\dfrac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\dfrac{1}{2^{2n-1}} \left\{ \cos 2nA+\binom{2n}{1}\cos (2n-2) A+\dots + \binom{2n}{n-1}\cos 2A  \right\}$

อินเวอร์สของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Inverse Trigonometric Functions)

ค่าที่สำคัญสำหรับ อินเวอร์ส ของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Principal Values for Inverse Trigonometric Functions)

ค่าที่สำคัญ สำหรับ $x\geq 0$	ค่าที่สำคัญสำหรับ $x<0$
$0\leq \sin^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{\pi}{2}\leq \sin^{-1}x<0$
$0\leq \cos^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{2}<\cos^{-1}x\leq \pi$
$0\leq \tan^{-1}x<\dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x< 0$
$0<\cot^{-1}x \leq \dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{2}<\cot^{-1}x <\pi$
$0\leq\sec^{-1}x<\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{2}<\sec^{-1}x\leq \pi$
$0<\csc^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{\pi}{2}\leq \csc^{-1}x<0$

ความสัมพันธ์ระหว่าง อินเวอร์สของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Relations Between Inverse Trigonometric Functions)

1. $\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}$

2. $\tan^{-1}x+\cot^{-1}x =\dfrac{\pi}{2}$

3. $\sec^{-1}x+\csc^{-1}x =\dfrac{\pi}{2}$

4. $\csc^{-1}x =\sin^{-1}(\dfrac{1}{x})$

5. $\sec^{-1} =\cos^{-1}(\dfrac{1}{x})$

6. $\cot^{-1}x=\tan^{-1}(\dfrac{1}{x})$

7. $\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$

8. $\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$

9. $\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$

10. $\cot^{-1}(-x) = \pi -\cot^{-1}x$

11. $\sec^{-1}(-x)=\pi -\sec^{-1}x$

12. $\csc^{-1}(-x)=-\csc^{-1}x$

กราฟ อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Graphs of Inverse Trigonometric Functions)

$y=\sin^{-1} x$	$y=\cos^{-1} x$
$y=\tan^{-1} x$	$y=\cot^{-1} x$
$y=\sec^{-1} x$	$y=\csc^{-1} x$

ความสัมพันธ์ระหว่าง ด้าน และมุม ของระนาบ สามเหลี่ยม  (Relationships Between Sides and Angles of A Plane Triangle)

ความสัมพันธ์ของ สามเหลี่ยม $ABC$ ด้าน $a,b,c$ และ มุม $A,B,C$

1. กฎของ Sines

$\dfrac{a}{\sin A} =\dfrac{b}{\sin B} =\dfrac{c}{\sin C}$

2. กฎของ Cosines

$c^2 =a^2+b^2-2ab\cos C$

ใช้ได้กับความสัมพันธ์ ระหว่างมุม และด้านอื่นๆ

3. กฎของ Tangents

$\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\tan \dfrac{(A+B)}{2}}{\tan \dfrac{(A-B)}{2}}$

ใช้ได้กับความสัมพันธ์ ระหว่างมุม และด้านอื่นๆ

4. $\sin A =\dfrac{2}{bc}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

เมื่อ $s=\dfrac{(a+b+c)}{2}$  โดย $s$ คือค่าครึ่งหนึ่ง ของความยาวของรูป สามเหลี่ยม (semiperimeter)

ความสัมพันธ์ ระหว่าง ด้าน และ มุม ของ สามเหลี่ยมบนทรงกลม (Relationships between Sides and Angles of a Spherical Triangle)

สามเหลี่ยมบนทรงกลม $ABC$ คือ สามเหลี่ยมที่อยู่บนพื้นผิวของทรงกลม ดังแสดงในรูป ด้าน $a,b,c$ คือด้านที่วัดจากมุมที่ยืดออก จากจุด ศูนย์กลาง $O$ ของทรงกลม $A,B,C$ เป็นมุมตรงข้ามของด้าน $a,b,c$ ตามลำดับ ดังนั้นผลที่ได้คือ

1. กฎของ Sines

$\dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C}$

2. กฎของ Cosines

$\cos a = \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$

$\cos A = -\cos B\cos C +\sin B\sin C\cos a$

ใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆเช่นกัน
3. กฎของ Tangents

$\dfrac{\tan\dfrac{(A+B)}{2}}{\tan\dfrac{(A-B)}{2}}=\dfrac{\tan\dfrac{a+b}{2}}{\tan\dfrac{(a-b)}{2}}$

ความสัมพันธ์ ใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ อีกเช่นกัน

4. $\cos\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{\sin s\sin (s-c)}{\sin b\sin c}}$

เมื่อ $s=\dfrac{(a+b+c)}{2}$ ความสัมพันธ์สามารถใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ

5. $\cos\dfrac{a}{2} =\sqrt{\dfrac{\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}$

เมื่อ $S=\dfrac{(A+B+C)}{2}$ ความสัมพันธ์สามารถใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ