เซต แนวความคิดพื้นฐาน ทางพีชคณิต

1. เซต (Set)

หนึ่งในแนวคิดสำคัญทางคณิตศาสตร์นั้นก็คือ เซต (Set) เซตนั้นคือ ตัวเก็บค่า หรือวัตถุหนึ่งๆ เช่น เซต ที่บรรจุค่าของตัวเลข จำนวนนับ จาก $1$ ถึง $5$ เราสามารถเขียนได้เป็น

$\{1,2,3,4,5\}$

ตัวเลขที่อยู่ในเซตนั้น จะถูกเรียกว่า องค์ประกอบ (elements) หรือ สมาชิกของ (members) เซต และเราแบ่ง สมาชิกต่างๆในเซตนั้นได้ด้วย คอมมา (commas) ที่อยู่ในวงเล็บปีกกา $\{\}$ ลักษณะแบบนี้ถูกเรียกว่า สัญลักษณ์ของเซต โดยส่วนใหญ่แล้ว เราจะเขียนชื่อของเซต ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ พิมพ์ใหญ่ เช่น

$A=\{1,2,3,4,5\}$

เมื่อเรา พูดถึง เซต $A$ เราจะรู้ว่าเราจะอ้างถึงเซต $\{1,2,3,4,5\}$

ถ้าเราต้องการระบุโดยเฉพาะเจาะจงว่า $2$ นั้นเป็น สมาชิกของ เซต $A$ เราสามารถเขียนแสดงได้ดังนี้

$2\in A$

ถ้าเราต้องการเขียนแสดงว่า $8$ ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต $A$ เราจะเขียนได้

$8\not\in A$


พิจารณาเซต $B=\{2,4\}$ โดยที่แต่ละสมาชิกของเซต $B$ นั้นเป็นสมาชิกของเซต $A$ เช่นกัน เราสามารถกล่าวได้ว่า เซต $B$ เป็น วับเซตของ $A$ และเขียนได้ดังนี้

$B\subset A$

เมื่อ $B$  นั้นถูกบรรจุใน เซต $A$ บางครั้งเราสามารถเขียนแสดงได้ด้วยรูปภาพด้านล่างนี้

ในทางกลับกัน เมื่อพิจารณาเซต $C=\{1,3,5,7\}$ โดยที่ $7\in C$ แต่ $7\not\in A$ เซต $C$ จึงไม่เป็นซับเซต (Subset) ของ $A$  โดยเราเขียนแสดงได้ดังนี้

$C\not\subset A$


ข้อสังเกตุ ความแตกต่างระหว่างการใช้ $\in$ และ $\subset$ คือ เราจะนำ $\in$ มาใช้กับ สมาชิก (element)  และ $\subset$ นั้นนำมาใช้กับ เซต (Set) นั่นเอง

ตัวอย่าง 

พิจาณาเซต $F=\{1,3,5,7,9\}$ $G=\{3,5\}$ และ $J=\{3,4,5\}$ จากข้อความที่กำหนดให้ด้านล่างนี้ ข้อใดเป็นจริง ข้อใดเป็น เท็จ

1. $G \subset F$

ตอบ เป็นจริง เพราะแต่ละสมาชิก ของ $G$ นั้นเป็นสมาชิกของเซต $F$

2. $J \subset F$

ตอบ เป็นเท็จ เพราะ $4$ ที่เป้นสมาชิกของเซต $J$ ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต $F$

3. $J \subset J$

ตอบ เป็นจริง เพราะแต่ละสมาชิกของเซต $J$ ก็คือสมาชิกของ เซต $J$

ข้อสังเกตุ  ทุกๆเซตนั้นเป็นสับเซตของตัวมันเอง ดังนั้น ถ้า $A$ เป็นเซต ดังนั้น $A\subset A$

ความน่าสนใจอีกอย่างหนึ่ง ของเซตนั้นก็คือ เซตว่าง (empty set) โดยเซตดังกล่าวนั้น ไม่ได้บรรจุ สมาชิกใดไว้เลย โดยเซตดังกล่าวน้นถูกแสดงได้โดยการเขียนสัญลักษณฺ ดังนี้ $\{\}$ หรือ $\emptyset$ ($\emptyset$ เป็นอักษรกรีซ phi ออกเสียงได้คือ fee) ตัวอย่างของเซตว่าง คือ เซตที่บรรจุ จำนวนนับ ที่มีค่าระหว่าง $2$ ถึง $3$ พิจารณา เซต $A=\{1,2\}$  เราสามารถพูดได้ว่า $\emptyset \subset A$ เพราะ ถ้า $\emptyset$ ไม่ได้เป็นซับเซต ของ $A$ ดังนั้นแสดงว่า ควรจะมีสมาชิกของ $\emptyset$ ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต $A$ แต่ปรากฏว่า $\emptyset$ นั้นไม่มีสมาชิกใดเลย ไม่เป็นสมาชิกของ เซต $A$  เราจึงพูดได้ว่า เซตว่าง นั้นเป็นสับเซตของทุกเซต 

ดังนั้นเมื่อเราพิจารณาเฉพาะ เซต จำกัด ซึงเป็นเซต ที่มีจำนวนสมาชิกแบบจำกัด แต่เมื่อเซต ของจำนวนนับ ที่เขียนแสดงได้ด้วย

$N=\{1,2,3,4,\dots\}$

เซต $N$ นั้นเป็นเซต แบบไม่จำกัด เพราะ จำนวนสมาชิกใน เซต ไม่มีขอบเขตจำกัด เราสามารถเขียนแสดงได้ด้วย ตัวเลขเริ่มต้นจำนวนบางส่วน โดยสร้าง รูปแบบ และเขียนต่อท้ายด้วยจุดสามจุด โดยรูปแบบดังกล่าวนั้นจะแสดงต่อเนื่องแบบไม่สิ้นสุด ยกตัวอย่าง เซตไม่จำกัด คือเซตของ จำนวนนับที่เป็น เลขคู่ทั้งหมด คือ :

$E =\{2,4,6,8,\dots\}$

นอกจากนั้นเรายังสามารถใช้จุดสามจุด เมื่อ เซนนั้น เป็น เซนจำกัด ได้เมื่อเซตนั้นประกอบด้วย จำนวนสมาชิกจำนวนมาก เช่น เซตของ จำนวนนับ $100$ เลขแรก สามารถเขียนได้ด้วย

$P=\{1,2,3,4,\dots ,100\}$

ตัวอย่าง

พิจารณาเซต  ดังต่อไปนี้ $N=\{1,2,3,4,\dots \}$ $E=\{2,4,6,8,\dots\}$ และ $A=\{1,2,3,4,5\}$ โดยกำหนดข้อความด้านล่างดังต่อไปนี้ จงหาว่า ข้อใด ถูก ข้อใด ผิด

1. $E\subset N$

ถูก เพราะ สมาชิกแต่ละตัวของ $E$ นั้นเป็นสมาชิกของ $N$

2. $24 \in E$

ถูก เพราะ $24$ เป็นจำนวนคู่ และเป็นสมาชิกของ $E$

3. $N\subset A$

ผิด เพราะ $N$ นั้นบรรจุ ตัวเลข $6,7,8,\dots$ แต่ไม่ได้เป็นสมาชิกของ $A$

4. $\emptyset \subset A$

ถูก เพราะ เซตว่าง เป็นซับเซตของ ทุกเซต

เซต $2$ เซตจะเท่ากัน เมื่อ แต่ละเซตนั้น บรรจุ สมาชิกที่เหมือนกัน ทุกประการ เช่น เซต

$X=\{2,7,9\}$ และ $Y=\{7,2,7,9\}$

เป็นเซต ที่มีค่าเท่ากัน เพราะแต่ละเซตนั้น มีสมาชิกเหมือนกัน คือ $2,7,$ และ $9$ โดย แต่ละอันนั้น จัดเรียงไม่เหมือนกัน และอีก เซตนึงนั้น มีสมาชิกที่ซ้ำกัน (เซต $Y$) ก็ตาม

สมมติ ว่า เซตของสมาชิก โดยที่  เซต $D$ และ เซต $G$ ทั้งสองเซตนั้น ที่มีสมาชิกเหมือนกัน เซตดังกล่าวจะถูกเรียกว่า อินเตอร์เซกชั่น (intersection) ของ $D$ และ $G$ เขียนสัญลักษณ์ได้โดย

$D\cap G$

และสำหรับ เซต ที่นำสมาชิกของ เซต $D$ และ เซต $G$ มารวมกันในเซตเดียวกัน เซตนั้นจะถูกเรียกว่า ยูเนียน (union) ของ $D$ และ $G$ จะเขียนสัญลักษณ์ได้ด้วย

$D\cup G$

ตัวอย่าง เรากำลังมองหางาน และในความคิดของเรานั้น แบ่งงานออกเป็น สอง เซต และ กำหนดเซตที่ หนึ่งว่า $M$  (สำหรับเงิน Money) โดยจะแสดงเซตของ งานที่จ่ายเงินดี ส่วนอีก หนึ่งเซตนั้น จะเป็นเซตของงาน ที่มีที่ตั้งเหมาะสม แล้วเราจะกำหนดให้เป็นเซต $L$ เมื่อเรามองหางานเรา เราอาจจะต้องการงานอย่างใดอย่างหนึ่ง ตามที่เรากำหนดเป็นเซตไว้ หรืออาจจะต้องการงานตามเงื่อนไขทั้งสองอย่าง  ดังนั้นเซต ที่บรรจุ เงื่อนไขทั้งสองอย่างตามที่เรากำหนดไว้ นั่นก็คือ อินเตอร์เซกชั่น เซต

$M\cap L$

ตามสัญลักษณ์ด้านบนนั้น คืองานที่ต้องมีคุณสมบัติทั้งสองอย่าง คือ $M$ (เงินดี) และ เซต $L$ (ที่ตั้งดี) แต่เมื่อเรามองค้นหางานดังกล่าวแล้ว เราไม่สามารถมองหางานที่มีคุณสมบัติพร้อมกัน ทั้งสองเซตได้เลย ดังนั้น เราจึงต้องพิจารณา หาเฉพาะเงื่อนไขใดเงื่อนไขนึง หรือทั้งสอง เงื่อนไข ในกรณีนี้ เซต ของงานดังกล่าวที่เราพิจารณา คือ ยูเนียน เซต ทั้งสองเซต $M$ และ $L$

$M\cup L$

ตัวอย่างอื่นๆ $S=\{1,2,3,5\}$  และ $T=\{ -2, 0,2,4\}$  ดังนั้น อินเตอร์เซกชั่น เซต ของ เซต $S$ และ $T$ คือ $S\cap T =\{2\}$  และ ยูเนียน เซต ของ เซต $S$ และ $T$ คือ $S\cup T$ คือ $S\cup S =\{1,2,3,5,-2,0,2,4\}$  $=\{-2,0,1,2,3,4,5\}$ ดังนั้น เราจะเห็นว่า อินเตอร์เซกชั่น เซตนั้น คือ สมาชิก ของ เซตสองเซต ที่มีสมาชิกเหมือนกัน  และ ยูเนียน เซต คือ เซต ของสมาชิก ของทั้งสองเซต มารวมกัน

ตัวอย่าง

พิจารณา เซต $A=\{1,3,5,7,9\}$ $,B=\{1,2,3,4\}$ $,C=\{2,4,6,8,\dots\}$ $,D=\{4,8,12,16,\dots\}$ $,F=\{$ ผู้ชายทุกคน $\}$ และ $A=\{$ ผู้หญิงทุกคน $\}$ หา เซตต่างๆ ตามข้อความด้านล่างนี้

1. $F\cup M$

$F\cup M=\{$  คนทุกคน $\}$

2. $F\cap M$
$F\cap M =\emptyset$ เพราะทั้งสองเซตนั้นไม่มีสมาชิกที่เหมือนกัน

3. $A\cap B$
$A\cap B \{1,3\}$  เพราะว่า สมาชิก $1$ และ $3$ นั้นเป็นสมาชิกทั้ง เซต $A$ และ เซต $B$

4. $A\cup B$
$A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}$ โดยการนำสมาชิกทั้งหมดของ เซต $A$ และ เซต $B$ มารวมกัน

5. $C\cap D$
$C\cap D=\{4,8,12,16,\dots \} =D$

6. $C\cup D$
$C\cup D=\{2,4,6,8,\dots \} = C$

 ระวังข้อผิดพลาดดังต่อไปนี้ 

ไม่ถูกต้อง	ที่ถูกต้อง
1. $5\subset \{3,4,5\}$	$5\in \{3,4,5\}$
2. $\{4,5\} \in \{3,4,5\}$	$\{4,5\} \subset \{3,4,5\}$
3. เซตว่าง $=\{\emptyset \}$ (เซตนี้เซตที่ บรรจุ สัญลักษณ์  $\emptyset$ ซึ่งไม่ใช่ เซตว่าง)	เซตว่าง คือ $=\emptyset$ หรือ $\{\}$