รวมสูตร ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ Trigonometric Functions
นิยามสำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของ สามเหลี่ยมมุมฉาก (Definition Of Trigonometric Functions For a Right Triangle)
สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $(90^\circ)$ ที่ $C$ และด้านของสามเหลี่ยม $a,b,c$ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ของมุม $A$ จะกำหนดได้ดังนี้
- $\sin A= \dfrac{a}{c}$
- $\cos A =\dfrac{b}{c}$
- $\tan A =\dfrac{a}{b}$
- $\cot A=\dfrac{b}{a}$
- $\sec A =\dfrac{c}{b}$
- $\csc A =\dfrac{c}{a}$
การขยายของมุมที่มีขนาดมากกว่า $90^\circ$
พิจารณา ระบบพิกัด $xy$ ในรูปด้านล่างนี้ จุด $P$ ในระนาบแกน $xy$ มีค่าพิกัดคือ $(x,y)$ เมื่อ $x$ มีค่าเป็นบวกตามแนว $OX$ และ มีค่าลบตลอด แนว $OX'$ ขณะที่ $y$ เป็นบวกตลอดแนว $OY$ และเป็นลบตลอดแนว $OY'$ ระยะทางจากจุดเริ่มต้น $O$ ไปยังจุด $P$ มีค่าเป็นบวกและสามารถเขียนแสดงได้ด้วย $r=\sqrt{x^2+y^2}$ มุม $A$ เมื่อลากผ่านโดยทวนเข็มนาฬิกา จากแนว $OX$ นั้นจะมีค่าเป็นบวก ถ้าลากผ่านตามเข็มนาฬิกาจาก $OX$ จะมีค่าเป็นลบ เราเรียก $X'OX$ และ $Y'OY$ คือแกน $x$ และ แกน $y$ ตามลำดับ
จตุรภาคเราสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ $I,II,III,IV$ หรือเรียกว่า จตุรภาคที่ 1 จตุรภาคที่ 2 จตุรภาคที่ 3 และ จตุรภาคที่ 4 ตามลำดับ ดังรูปด้านล่าง ยกตัวอย่างเช่น มุม $A$ ในจตุรภาคที่ 2 และ มุม $A$ ในจตุรภาคที่ 3
สำหรับมุม $A$ ในทุกๆจตุรภาค ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ของ $A$ คือ
1. $\sin A =\dfrac{y}{r}$
2. $\cos A =\dfrac{x}{r}$
3. $\tan A =\dfrac{y}{x}$
4. $\cot A =\dfrac{x}{y}$
5. $\sec A =\dfrac{r}{x}$
6. $\csc A =\dfrac{r}{y}$
ความสัมพันธ์ ระหว่าง องศา (Degrees) และ เรเดียน (Radians)
เรเดียน คือ ส่วนโค้ง $MN$ ที่รองรับมุม $\theta$ ของวงกลม ที่จุดศูนย์กลาง $O$ จะมีค่า เท่ากับ $r$
เมื่อ $2\pi$ เรเดียน $= 360^\circ$ ดังนั้น
1. $1$ เรเดียน $=180^\circ\pi = 57.29557\; 95130\; 8232\;\dots ^\circ$
2. $1^\circ =\pi/180$ เรเดียน $= 0.01745\; 32925\; 19943\; 29576\; 92\;\dots$ เรเดียน
ความสัมพันธ์ระหว่าง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Relationships Among Trigonometric Functions)
1. $\tan A =\dfrac{\sin A}{\cos A}$
2. $\cot A =\dfrac{1}{\tan A} = \dfrac{\cos A}{\sin A}$
3. $\sec A =\dfrac{1}{\cos A}$
4. $\csc A =\dfrac{1}{\sin A}$
5. $\sin^2 A+\cos^2 A =1$
6. $\sec^2 A-\tan^2 A =1$
7. $\csc^2 A -\cot^2 A =1$
สัญลักษณ์และความแตกต่าง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Signs and Variations Of Trigonometric Functions)
จตุรภาค
|
$\sin A$
|
$\cos A$
|
$\tan A$
|
$\cot A$
|
$\sec A$
|
$\csc A$
|
| $1$ |
$+$
$0$ ถึง $1$
|
$+$
$1$ ถึง $0$
|
$+$
$0$ ถึง $\infty$
|
$+$
$\infty$ ถึง $0$
|
$+$
$1$ ถึง $\infty$
|
$+$
$\infty$ ถึง $1$
|
| $2$ |
$+$
$1$ ถึง $0$
|
$-$
$0$ ถึง $-1$
|
$-$
$-\infty$ ถึง $0$
|
$-$
$0$ ถึง $-\infty$
|
$-$
$-\infty$ ถึง $-1$
|
$+$
$1$ ถึง $\infty$
|
| $3$ |
$-$
$0$ ถึง $-1$
|
$-$
$-1$ ถึง $0$
|
$+$
$0$ ถึง $\infty$
|
$+$
$\infty$ ถึง $0$
|
$-$
$-1$ ถึง $-\infty$
|
$-$
$-\infty$ ถึง $-1$
|
| $4$ |
$-$
$-1$ ถึง $0$
|
$+$
$0$ ถึง $1$
|
$-$
$-\infty$ ถึง $0$
|
$-$
$0$ ถึง $-\infty$
|
$+$
$\infty$ ถึง $1$
|
$-$
$-1$ ถึง $-\infty$
|
ค่าของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติของมุมขนาดต่างๆ (Functions Of Various Angles)
| มุม $A$ (องศา) |
มุม $A$ (เรเดียน) |
$\sin A$ |
$\cos A$ |
$\tan A$ |
$\cot A$ |
$\sec A$ |
$\csc A$ |
| $0^\circ$ |
$0$ |
$0$ |
$1$ |
$0$ |
$\infty$ |
$1$ |
$\infty$ |
| $15^\circ$ |
$\dfrac{\pi}{12}$ |
\( \frac{ (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\) |
$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$ |
$2-\sqrt{3}$ |
$2+\sqrt{3}$ |
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ |
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$ |
| $30^\circ$ |
$\dfrac{\pi}{6}$ |
$\dfrac{1}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
$\sqrt{3}$ |
$\dfrac{2\sqrt{3}}{2}$ |
$2$ |
| $45^\circ$ |
$\dfrac{\pi}{4}$ |
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$1$ |
$1$ |
$\sqrt{2}$ |
$\sqrt{2}$ |
| $60^\circ$ |
$\dfrac{\pi}{3}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$\dfrac{1}{2}$ |
$\sqrt{3}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
$2$ |
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| $75^\circ$ |
$\dfrac{5\pi}{12}$ |
$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$ |
$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$ |
$2+\sqrt{3}$ |
$2-\sqrt{3}$ |
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$ |
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ |
| $90^\circ$ |
$\dfrac{\pi}{2}$ |
$1$ |
$0$ |
$\pm\infty$ |
$0$ |
$\pm\infty$ |
$1$ |
| $105^\circ$ |
$\dfrac{7\pi}{12}$ |
$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$ |
$-\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$ |
$-(2+\sqrt{3})$ |
$-(2-\sqrt{3})$ |
$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ |
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ |
| $120^\circ$ |
$\dfrac{2\pi}{3}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$-\dfrac{1}{2}$ |
$-\sqrt{3}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
$-2$ |
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| $135^\circ$ |
$\dfrac{3\pi}{4}$ |
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$-1$ |
$-1$ |
$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ |
$2$ |
| $150^\circ$ |
$\dfrac{5\pi}{6}$ |
$\dfrac{1}{2}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | | | |
| $165^\circ$ |
$\dfrac{11\pi}{12}$ |
$\frac{()\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ |
$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ |
$-(2-\sqrt{3})$ |
$-(2+\sqrt{3})$ |
$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ |
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$ |
| $180^\circ$ |
$\pi$ |
$0$ |
$-1$ |
$0$ |
$\mp\infty$ |
$-1$ |
$\pm\infty$ |
| $195^\circ$ |
$\dfrac{13\pi}{12}$ |
$-\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$ |
$-\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$ |
$2-\sqrt{3}$ |
$2+\sqrt{3}$ |
$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ |
$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ |
| $210^\circ$ |
$\dfrac{7\pi}{6}$ |
$-\dfrac{1}{2}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
$\sqrt{3}$ |
$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ |
$-2$ |
| $225^\circ$ |
$\dfrac{5\pi}{4}$ |
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$1$ |
$1$ |
$-\sqrt{2}$ |
$-\sqrt{2}$ |
| $240^\circ$ |
$\dfrac{4\pi}{3}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$-\dfrac{1}{2}$ |
$\sqrt{3}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
$-2$ |
$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| $255^\circ$ |
$\dfrac{17\pi}{12}$ |
$-\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$ |
$-\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$ |
$2+\sqrt{3}$ |
$2-\sqrt{3}$ |
$-(\sqrt{}6|+\sqrt{2})$ |
$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ |
| $270^\circ$ |
$\dfrac{3\pi}{2}$ |
$-1$ |
$0$ |
$\pm\infty$ |
$0$ |
$\mp\infty$ |
$-1$ |
| $285^\circ$ |
$\dfrac{19\pi}{12}$ |
$-\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$ |
$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ |
$-(2+\sqrt{3})$ |
$-(2-\sqrt{3})$ |
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$ |
$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ |
| $300^\circ$ |
$\dfrac{5\pi}{3}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$\dfrac{1}{2}$ |
$-\sqrt{3}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
$2$ |
$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| $315^\circ$ |
$\dfrac{7\pi}{4}$ |
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$-1$ |
$-1$ |
$\sqrt{2}$ |
$-\sqrt{2}$ |
| $330^\circ$ |
$\dfrac{11\pi}{6}$ |
$-\dfrac{1}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
$-\sqrt{3}$ |
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ |
$-2$ |
| $345^\circ$ |
$\dfrac{23\pi}{12}$ |
$-\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$ |
$\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$ |
$-(2-\sqrt{3})$ |
$-(2+\sqrt{3})$ |
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ |
$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ |
| $360^\circ$ |
$2\pi$ |
$0$ |
$1$ |
$0$ |
$\mp\infty$ |
$1$ |
$\mp\infty$ |
กราฟ ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ (Graphs of Trigonometric Functions)
$y=\sin x$
|
$y=\cos x$
|
$y=\tan x$
|
$y=\cot x$
|
$y=\sec x$
|
$y=\csc x$
|
ฟังก์ชันของมุมที่เป็น ลบ (Functions of Negative Angles)
1. $\sin(-A) = -\sin A$
2. $\cos(-A) = \cos A$
3. $\tan(-A) = -\tan A$
4. $\csc(-A) = -\csc A$
5. $\sec(-A) = \sec A$
6. $\cot(-A) = -\cot A$
สูตรการบวกมุม ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ (Addition Formulars)
1. $\sin(A\pm B) =\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
2. $\cos(A\pm B)= \cos A\cos B\mp\sin A\sin B$
3. $\tan(A\pm B)=\dfrac{\tan A\pm\tan B}{1\mp \tan A\tan B}$
4. $\cot(A\pm B)=\dfrac{\cot A\cot B\mp 1}{\cot B\pm\cot A}$
ฟังก์ชันของมุม ในทุกจตุรภาค แปลงเป็น จตุรภาคที่ภาคที่ 1 (Function of Angle in All Quadrants in Terms of Those in Quadrant I)
|
$-A$ |
$90^\circ \pm A$
$\dfrac{\pi}{2}\pm A$ |
$180^\circ \pm A$
$\pi\pm A$ |
$270^\circ \pm A$
$\dfrac{3\pi}{2}\pm A$ |
$k(360^\circ)\pm A$
$2k\pi\pm A$
$k=$ integer |
| $\sin $ |
$-\sin A$ |
$\cos A$ |
$\mp \sin A$ |
$-\cos A$ |
$\pm \sin A$ |
| $\cos $ |
$\cos A$ |
$\mp \sin A$ |
$-\cos A$ |
$\pm \sin A$ |
$\cos A$ |
| $\tan $ |
$-\tan A$ |
$\mp \cot A$ |
$\pm \tan A$ |
$\mp \cot A$ |
$\pm \tan A$ |
| $\csc$ |
$-\csc A$ |
$\sec A$ |
$\mp \csc A$ |
$-\sec A$ |
$\pm \csc A$ |
| $\sec$ |
$\sec A$ |
$\mp \csc A$ |
$-\sec A$ |
$\pm \csc A$ |
$\sec A$ |
| $\cot$ |
$-\cot A$ |
$\mp \tan A$ |
$\pm \cot A$ |
$\mp \tan A$ |
$\pm \cot A$ |
ความสัมพันธ์ ระหว่าง ฟังก์ชัน และ มุมใน จตุรภาคที่ 1 (Relationships Among Functions of Angles in Quadrant I)
|
$\sin A=u$ |
$\cos A =u$ |
$\tan A =u$ |
$\cot A =u$ |
$\sec A = u$ |
$\csc A =u$ |
| $\sin A$ |
$u$ |
$\sqrt{1-u^2}$ |
$\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$ |
$\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$ |
$\frac{\sqrt{u^2-1}}{u}$ |
$\dfrac{1}{u}$ |
| $\cos A$ |
$\sqrt{1-u^2}$ |
$u$ |
$\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$ |
$\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$ |
$\frac{1}{u}$ |
$\frac{\sqrt{u^2-1}}{u}$ |
| $\tan A$ |
$\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}$ |
$\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}$ |
$u$ |
$\dfrac{1}{u}$ |
$\sqrt{u^2-1}$ |
$\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}$ |
| $\cot A$ |
$\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}$ |
$\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}$ |
$\dfrac{1}{u}$ |
$u$ |
$\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}$ |
$\sqrt{u^2-1}$ |
| $\sec A$ |
$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ |
$\dfrac{1}{u}$ |
$\sqrt{1+u^2}$ |
$\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}$ |
$u$ |
$\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}$ |
| $\csc A$ |
$\dfrac{1}{u}$ |
$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ |
$\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}$ |
$\sqrt{1+u^2}$ |
$\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}$ |
$u$ |
สูตรสองเท่าของมุม (Double Angle Formulas)
1. $\sin 2A = 2\sin A\cos A$
2. $\cos 2A = \cos^2 A-\sin^2A =1-2\sin^2 A =2\cos^2A-1$
3. $\tan 2A =\dfrac{2\tan A}{1-\tan^2A}$
สูตรครึ่งนึงของมุม (Half Angle Formulas)
1. $\sin\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{2}}$
2. $\cos\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos A}{2}}$
3. $\tan\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}}$
$\tan\dfrac{A}{2} =\dfrac{\sin A}{1+\cos A} =\dfrac{1-\cos A}{\sin A} =\csc A-\cot A$
สูตรการคูณมุม (Multiple Angle Formulas)
1. $\sin 3A =3\sin A-4\sin^3A$
2. $\cos 3A = 4\cos^3 A -3\cos A$
3. $\tan 3A = \dfrac{3\tan A-\tan^3A}{1-3\tan^2A}$
4. $\sin 4A = 4\sin A\cos A -8\sin^3A\cos A$
5. $\cos 4A = 8\cos^4 A -8\cos^2A +1$
6. $\tan 4A = \dfrac{4\tan A-4\tan^3 A}{1-6\tan^2 A+\tan^4 A}$
7. $\sin 5A = 5\sin A -20\sin^3 A +16\sin^5 A$
8. $\cos 5A = 16\cos^5 A-20\cos^3A +5\cos A$
9. $\tan 5A = \dfrac{\tan^5A -10\tan^3A + 5\tan A}{1-10\tan^2 A+5\tan^4 A}$
การยกกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Powers of Trigonometric Functions)
1. $\sin^2 A =\dfrac{1-\cos 2A}{2}$
2. $\cos^2 A =\dfrac{1+\cos 2A}{2}$
3. $\sin^3 A = \dfrac{3\sin A-\sin 3A}{4}$
4. $\cos^3 A = \dfrac{3\cos A+\cos 3A}{4}$
5. $\sin^4 A = \dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos 2A}{2}+\dfrac{\cos 4A}{8}$
6. $\cos^4 A =\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos 2A}{2}+\dfrac{\cos 4A}{8}$
7. $\sin^5 A = \dfrac{5\sin A}{8}-\dfrac{5\sin 3A}{16}+\dfrac{\sin 5A}{16}$
8. $\cos^5 A = \dfrac{5\cos A}{8}+\dfrac{5\cos 3A}{16}+\dfrac{\cos 5A}{16}$
ผลบวกและผลคูณ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Sum, Difference And Product of Trigonometric Functions)
1. $\sin A+\sin B = 2\sin\dfrac{1}{2}(A+B)\cos\dfrac{1}{2}(A-B)$
2. $\sin A -\sin B = 2\cos\dfrac{1}{2}(A+B)\sin\dfrac{1}{2}(A-B)$
3. $\cos A+\cos B = 2\cos\dfrac{1}{2}(A+B)\cos\dfrac{1}{2}(A-B)$
4. $\cos A-\cos B = 2\sin\dfrac{1}{2}(A+B)\sin\dfrac{1}{2}(B-A)$
5. $\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$
6. $\cos A\cos B = \dfrac{1}{2}\{(\cos(A-B)+\cos(A+B))\}$
7. $\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\{\sin(A-B)+\sin(A+B)\}$
สูตรรูปแบบทั่วไป (General Formulas)
1. $\sin nA = \sin A\left\{(2\cos A)^{n-1}-\binom{n-2}{1}(2\cos A)^{n-3}+\binom{n-3}{2}(2\cos A)^{n-5} -\dots \right\}$
2. $\cos nA =\dfrac{1}{2}\left\{ (2\cos A)^n -\dfrac{n}{1}(2\cos A)^{n-2} +\dfrac{n}{2}\binom{n-3}{1}(2\cos A)^{n-4} -\dfrac{n}{3}\binom{n-4}{2}(2\cos A)^{n-6}+\dots\right\}$
3. $\sin^{2n-1}A =\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{2n-2}}\left\{ \sin(2n-1)A-\binom{2n-1}{1}\sin(2n-3)A +\dots (-1)^{n-1}\binom{2n-1}{n-1}\sin A \right\}$
4. $\cos^{2n-1}A = \dfrac{1}{2^{2n-2}}\left\{\cos(2n-1)A +\binom{2n-1}{1}\cos(2n-3)A +\dots \binom{2n-1}{n-1}\cos A \right\}$
5. $\sin^{2n}A = \dfrac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\dfrac{(-1)^n}{2^{2n-1}}\left\{\cos 2nA -\binom{2n}{1}\cos(2n-2)A +\dots (-1)^{n-1}\binom{2n}{n-1}\cos 2A \right\}$
6. $\cos^{2n}A =\dfrac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\dfrac{1}{2^{2n-1}} \left\{ \cos 2nA+\binom{2n}{1}\cos (2n-2) A+\dots + \binom{2n}{n-1}\cos 2A \right\}$
อินเวอร์สของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Inverse Trigonometric Functions)
ค่าที่สำคัญสำหรับ อินเวอร์ส ของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Principal Values for Inverse Trigonometric Functions)
| ค่าที่สำคัญ สำหรับ $x\geq 0$ |
ค่าที่สำคัญสำหรับ $x<0$ |
| $0\leq \sin^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{2}\leq \sin^{-1}x<0$ |
| $0\leq \cos^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\pi}{2}<\cos^{-1}x\leq \pi$ |
| $0\leq \tan^{-1}x<\dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x< 0$ |
| $0<\cot^{-1}x \leq \dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\pi}{2}<\cot^{-1}x <\pi$ |
| $0\leq\sec^{-1}x<\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\pi}{2}<\sec^{-1}x\leq \pi$ |
| $0<\csc^{-1}x\leq \dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{2}\leq \csc^{-1}x<0$ |
ความสัมพันธ์ระหว่าง อินเวอร์สของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Relations Between Inverse Trigonometric Functions)
1. $\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}$
2. $\tan^{-1}x+\cot^{-1}x =\dfrac{\pi}{2}$
3. $\sec^{-1}x+\csc^{-1}x =\dfrac{\pi}{2}$
4. $\csc^{-1}x =\sin^{-1}(\dfrac{1}{x})$
5. $\sec^{-1} =\cos^{-1}(\dfrac{1}{x})$
6. $\cot^{-1}x=\tan^{-1}(\dfrac{1}{x})$
7. $\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$
8. $\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$
9. $\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$
10. $\cot^{-1}(-x) = \pi -\cot^{-1}x$
11. $\sec^{-1}(-x)=\pi -\sec^{-1}x$
12. $\csc^{-1}(-x)=-\csc^{-1}x$
กราฟ อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Graphs of Inverse Trigonometric Functions)
$y=\sin^{-1} x$
|
$y=\cos^{-1} x$
|
$y=\tan^{-1} x$
|
$y=\cot^{-1} x$
|
$y=\sec^{-1} x$
|
$y=\csc^{-1} x$
|
ความสัมพันธ์ระหว่าง ด้าน และมุม ของระนาบ สามเหลี่ยม (Relationships Between Sides and Angles of A Plane Triangle)
ความสัมพันธ์ของ สามเหลี่ยม $ABC$ ด้าน $a,b,c$ และ มุม $A,B,C$
1. กฎของ Sines
$\dfrac{a}{\sin A} =\dfrac{b}{\sin B} =\dfrac{c}{\sin C}$
2. กฎของ Cosines
$c^2 =a^2+b^2-2ab\cos C$
ใช้ได้กับความสัมพันธ์ ระหว่างมุม และด้านอื่นๆ
3. กฎของ Tangents
$\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\tan \dfrac{(A+B)}{2}}{\tan \dfrac{(A-B)}{2}}$
ใช้ได้กับความสัมพันธ์ ระหว่างมุม และด้านอื่นๆ
4. $\sin A =\dfrac{2}{bc}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
เมื่อ $s=\dfrac{(a+b+c)}{2}$ โดย $s$ คือค่าครึ่งหนึ่ง ของความยาวของรูป สามเหลี่ยม (semiperimeter)
ความสัมพันธ์ ระหว่าง ด้าน และ มุม ของ สามเหลี่ยมบนทรงกลม (Relationships between Sides and Angles of a Spherical Triangle)
สามเหลี่ยมบนทรงกลม $ABC$ คือ สามเหลี่ยมที่อยู่บนพื้นผิวของทรงกลม ดังแสดงในรูป ด้าน $a,b,c$ คือด้านที่วัดจากมุมที่ยืดออก จากจุด ศูนย์กลาง $O$ ของทรงกลม $A,B,C$ เป็นมุมตรงข้ามของด้าน $a,b,c$ ตามลำดับ ดังนั้นผลที่ได้คือ
1. กฎของ Sines
$\dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C}$
2. กฎของ Cosines
$\cos a = \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$
$\cos A = -\cos B\cos C +\sin B\sin C\cos a$
ใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆเช่นกัน
3. กฎของ Tangents
$\dfrac{\tan\dfrac{(A+B)}{2}}{\tan\dfrac{(A-B)}{2}}=\dfrac{\tan\dfrac{a+b}{2}}{\tan\dfrac{(a-b)}{2}}$
ความสัมพันธ์ ใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ อีกเช่นกัน
4. $\cos\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{\sin s\sin (s-c)}{\sin b\sin c}}$
เมื่อ $s=\dfrac{(a+b+c)}{2}$ ความสัมพันธ์สามารถใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ
5. $\cos\dfrac{a}{2} =\sqrt{\dfrac{\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}$
เมื่อ $S=\dfrac{(A+B+C)}{2}$ ความสัมพันธ์สามารถใช้ได้กับด้านและมุมอื่นๆ
