สอบเตรียมทหาร สอบนายร้อย วิชาฟิสิกส์ เรื่อง สมดุลกล พร้อมเฉลยละเอียด
ข้อ 1 จากรูป คานรับน้ำหนัก ยาว $L$ และมีมวล $m=1.8\; kg$ วางนิ่งอยู่บนตาชั่งสองอัน แล้วมีท่อนไม้มวล $M=2.7\; kg$ วางนิ่งอยู่บนคานรับน้ำหนัก โดยจุดศูนย์กลางของท่อนไม้ ห่างจากคานรับน้ำหนักทางด้านซ้ายเป็นระยะ $\dfrac{L}{4}$ จงหาว่าตาชั่งแต่ละข้างจะอ่านค่าได้เท่าใด (กำหนดให้ค่า $g=9.8\; m/s^2$)
1) ซ้าย $20\; N$ ขวา $10\; N$ 2) ซ้าย $2.9\; N$ ขวา $1.5\; N$
2) ซ้าย $29\;N$ ขวา $15\; N$ 4) ซ้าย $2.0\; N$ ขวา $1.0\; N$
เฉลยวิธีทำอย่างละเอียด
อันดับแรกก่อนที่เราจะเริ่มแก้ปัญหาของโจทย์เราต้องกำหนดว่า ระบบที่เราต้องการจะนำมาวิเคราะห์ คือส่วนไหน โดยการวาดรูป free-body diagram ของมันตามรูปด้านล่างนี้ โดยเราจะแสดงแรงทุกแรงที่เกิดขึ้น ในระบบ โดยเราเลือกระบบที่ประกอบไปด้วย คานรับน้ำหนัก ท่อนไม้ โดยแรงของระบบนั้นแสดงด้วยภาพทางด้านล่างนี้ เนื่องจากระบบนี้เป็น สมดุลสถิต ที่วัตถุหยุดนิ่ง เราจึงทำการสมดุลแรง ด้วยสมการ $F_x=0$ และ $F_y=0$ ทั้งแกน $x$ และแกน $y$ และสมดุลแรงหมุนด้วยสมการ $T_z =0$
วิธีคำนวณ
แรงปกติบนคานรับน้ำหนัก คือแรงที่มาจากตาชั่งคือแรง $\overset{\rightarrow}{F}_l$ ทางด้านซ้าย และแรง $\overset{\rightarrow}{F}_r$ ทางด้านขวา และค่าที่อ่านได้จากตาชั่งจะมีขนาดเท่ากับแรงสองแรงนี้ แรงดึงดูดที่กระทำต่อคานรับน้ำหนัก $\overset{\rightarrow}{F}_{g,\text{คาน}}$ บนจุดศูนย์กลางมวลของคาน และมีค่าเท่ากับ $m\overset{\rightarrow}{g}$ เช่นเดียวกันกับ แรงดึงดูดที่กระทำต่อท่อนไม้ คือ $\overset{\rightarrow}{F}_{g,\text{ท่อนไม้}}$ บนจุดศูนย์กลางมวลของท่อนไม้จะมีค่าเท่ากับ $M\overset{\rightarrow}{g}$ อย่างไรก็ตามตามรูป ท่อนไม้จะถูกแสดงอยู่ในรูปของจุดซึ่งอยู่ภายในคานรับน้ำหนัก และ vector แรงของ $\overset{\rightarrow}{F}_{g,\text{ท่อนไม้}}$ จะถูกเขียนให้ห่างของแรงนั้นอยู่ที่จุดดังรูป
ในแนวแกน $x$ นั้นไม่มีแรงที่กระทำตามรูป เพราะฉะนั้นเราจะได้สมดุลตามแนวแกน $y$ ดังนี้
$F_l+F_r-Mg-mg=0$
จากสมการด้านบนนี้ เรายังไม่ทราบตัวแปลอยู่สองตัว คือ แรง $F_l$ และ แรง $F_r$ เราจึงต้องใช้สมการ $T_z=0$ เป็นสมการของ สมดุลแรงหมุน ตามแนวระนาบของรูป ต่อไปเราจะทำการเลือกแกนหมุนทางด้านซ้ายของคานรับน้ำหนัก โดยเราควรกำหนดเครื่องหมายของแรงหมุนนั้น โดยใช้กฎพื้นฐานง่ายๆคือ ถ้าแรงหมุนนั้นผ่านแกนหมุนที่วัตถุหยุดนิ่ง และกระทำกับวัตถุในทิศทางตามเข็มนาฬิกาแรงนั้นจะแสดงค่าเป็นลบ หรือถ้าแรงนั้นมีทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกา แรงหมุนนั้นจะแสดงค่าเป็นบวก สุดท้ายเราจะเขียนแรงหมุนในรูปแบบได้ดังนี้ $r_\perp F$ โดยแสดงแยกเป็นแรงต่างๆได้ดังนี้
- $r_\perp$ นั้นคือ $0$ สำหรับแรง $F_l$
- $\dfrac{L}{4}$ สำหรับ $M\overset{\rightarrow}{g}$
- $\dfrac{L}{2}$ สำหรับ $m\overset{\rightarrow}{g}$
- $L$ สำหรับ $\overset{\rightarrow}{F}_r$
$(0)(F_l)-(\dfrac{L}{4})(Mg)-(\dfrac{L}{2})(mg)+(L)(F_r) =0$
แทนค่าตามที่โจทย์กำหนดให้
$F_r = \dfrac{1}{4}Mg+\dfrac{1}{2}mg$
$=\dfrac{1}{4}(2.7\; kg)(9.8\; m/s^2)+\dfrac{1}{2}(1.8\; kg)(9.8\; m/s^2)$
$=15.44\; N \approx 15\; N$
ใช้หลักการณ์เดียวกันกับ $F_r$ เพื่อหาค่าของ $F_l$ ได้ดังนี้
$F_l = (M+m)g-F_r$
$= (2.7\; kg+1.8\; kg)(9.8\; m/s^2)- 15.44\; N$
$=28.66\; N \approx 29\; N$
ตอบ ซ้าย $29\; N$ ขวา $15\; N$
