วิธีการหามุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบด้านสามด้าน ที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้กฎของ Cosines (โคไซน์)

วิธีการหามุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบด้านสามด้าน ที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้กฎของ Cosines (โคไซน์)

ในบางครั้งที่น้องๆทำโจทย์ข้อสอบ ก็จะแก้ปัญหาแต่ทีี่คุ้นเคยคือ สมการพีทาโกรัสแต่ในบางครั้งเราสามารถแก้ปัญหาโจทย์ของรูปสามเหลี่ยมได้ง่ายดายมากๆ ถึงแม่ว่าโจทย์ข้อนั้นจะไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉากก็ตาม น้องๆลองดูทฤษฎีและการประยุคนะครับเมื่อเวลาเจอข้อสอบจะได้ทำได้อย่างลวดเร็วครับ

จากรูปใต้ล่างนี้นะครับ

จากรูปตัวอย่างด้านบนโดยใช้ กฎของ โคไซน์ เราได้ได้สมการดังนี้

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

นอกจากนั้นน้องๆยังสามารถนำกฎของโคไซน์ไปประยุค หามุมแต่ละมุมโดยแยกออกเป็นสมการที่สามารถมองได้ง่ายๆ เป็นแต่ละมุมได้ดังนี้ครับ

มุม $A$

$\cos (A) = \cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

มุม $B$

$\cos (B)=\cfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

มุม $C$

$\cos (C)=\cfrac{b^2+a^2-c^2}{2bd}$

ตัวอย่างวิธีการคำนวณ

น้องๆลองดูตัวอย่างนีี้นะครับ
จากรูป เราจะทราบด้าน 3 ด้านโดยไม่ทราบว่ามุมมีขนาดเท่าใดบ้างแต่ที่สำคัญข้อหนึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมก็คือ ผลบวกของทั้งสามมุมจะเท่ากับ $180$ ถ้าคิดอะไรยังไม่ออกก็ตั้งสมการเล่นๆไปก่อนนะครับ

ผลรวมของทั้งสามมุมคือ

$\widehat{A} +\widehat{B} +\widehat{C} = 180^\circ$

เริ่มต้นด้วย เรามามุมหามุม $A$ กันก่อนเลยนะครับ

มุมที่ 1
จากกฎของ โคไซน์ จะได้สมการของมุม $A$ คือ

$\cos (A) = \cfrac{2^2+{(2\sqrt{3})}^2-4^2}{2\times 2\times 2\sqrt{3}}$

$\cos (A)=\cfrac{4+12-16}{8\sqrt{3}}$

$\cos (A)=\cfrac{0}{8\sqrt{3}}$

$\cos(A)=0$

จาก สมการด้านบน $\cos (A)=0$ แสดงว่า  มุม $A = 90^\circ$


มุมที่ 2
จากกฎขอิงโคไซน์ จะได้สมการของมุม $B$ คือ

$\cos (B)=\cfrac{{(2\sqrt{3})}^2+4^2-2^2}{2\times 2\sqrt{3}\times 4}$

$\cos (B)=\cfrac{12+16-4}{16\sqrt{3}}$

$\cos (B)=\cfrac{24}{16\sqrt{3}}$

$\cos (B)=\cfrac{3}{2\sqrt{3}}$

ถ้าเป็นรูปแบบนี้น้องๆหลายคนอาจจะมองไม่ออกก็ได้นะครับ แต่ปกติคำตอบของมุมนี้เป็นมุมที่เราพบกันบ่อยมากๆเลยครับ ลองเปลี่ยนรูปดูนะครับ โดยการนำเอา $\sqrt{3}$ คูณทั้งบนและล่าง จะได้

$\cos (B)=\cfrac{3\sqrt{3}}{2\times 3}$

$\cos (B)=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

เพราะฉะนั้นแล้วเราจะได้มุม $B=30^\circ$

จากสมบัติที่พี่ได้บอกคือว่า ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับ $180^\circ$

เพราะฉะนั้นแล้วเราสามารถหาค่าของมุม \widehat{C}$ ได้โดย

มุมที่ 3

$90 + 30 +\widehat{C} =180$

$C=60$

หรือน้องจะลองคิดโดยใช้กฎของโคไซน์ก็ได้นะครับโดยมุม $C$ จะเท่ากับ

$\cos (C)=\cfrac{4^2+2^2 -{(2\sqrt{3})}^2}{2\times 2\times 4}$

$\cos (C)=\cfrac{16+4-12}{16}$

$\cos (C)=\cfrac{8}{16}$

$\cos (C)=\cfrac{1}{2}$

เพราะฉะนั้นเมื่อ $\cos (C) = \cfrac{1}{2}$ ค่ามุม ของ $C$ จึงเท่ากับ $30^\circ$



น้องๆลองไปฝีกมือทำกันดูนะครับหรือไม่ก็ลองคิดวิธีนี้กับโจทย์อื่นๆดูเพื่อที่บางครั้ง อาจจะช่วยลดเวลาให้เราได้เยอะเลยครับ ในการทำข้อสอบ


ปล. ปกติแล้วถ้าตัวเลขออกมาไม่คุ้นเคยอาจจะต้องใช้เครื่องคิดเลขนะครับ แต่ถ้าโจทย์ข้อสอบโดยทั่วไปเขาจะกำหนดมาให้หรือไม่ ก็เป็นมุมที่เจอบ่อยๆในข้อสอบอยู่แล้วครับ