แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ และการกระทำของเซต

     แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ และการกระทำของเซต

     บางครั้งการเขียนแผนภาพแทนเซตช่วยให้เข้าใจเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์ระหว่างเซตต่างๆ ได้ชัดเจนยิ่งขึ้นเรียกแผนภาพแทนเซตว่า แผนภาพของเวนน์ ออยเลอร์ ตามชื่อคณิตศาสตร์ ชาวอังกฤษ จอห์น เวนน์ (John Venn พ.ศ. 2377-2465) และนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Lepnhaed Euler พ.ศ. 2250-2326) นิยมเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ ด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉากและแทนเซตต่างๆ ซึ่งเป็นสับเซตของ $\mathscr{U}$ ด้วยวงกลม หรือ วงรี หรือรูปที่มีพื้นที่จำกัดใดๆ ก็ได้ สิ่งที่สำคัญอีกประการหนึ่งในการใช้แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ แทนเซตก็คือ เพื่อใช้ในการพิสูจน์ ในการเท่ากันของนิพจน์ ที่เขียนในรูปเซต และการกระทำของเซต ที่จะได้ศึกษาในหัวข้อต่อไป

     การกระทำของเซต (Operation Sets)
     1. ยูเนียน (Union)
     บทนิยาม ให้ $A$ และ $B$ เป็นสับเซตของเอกสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ ยูเนียน ของ $A$ และ $B$ คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน $A$ หรือ $B$

     ใช้สัญลักษณ์ $A\cup B$ แทนยูเนียนของ $A$ และ $B$ นิยมอ่านว่า $A$ ยูเนียน $B$
                           $A\cup B =\{ x\in\mathscr{U} | x\in หรือ x\in B\}$

     สรุปสมบัติที่สำคัญบางประการที่เกี่ยวยูเนียน
     ให้ $A,B$ และ $C$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ จะได้ว่า
     1. $A\subset A\cup B$ และ $B\subset A\cup A$
     2. $A\cup \varnothing =A$ และ $\varnothing \cup A= A$
     3. $A\cup B=B\cup A$
     4. $(A\cup B)\cup C=A\cup (\cup C)$
     5. $A\cup A=A$
     6. $A\subset B$ ก็ต่อเมื่อ $A\cup B=B$
     7. ถ้า $A\subset B$ และ $A\subset B\cup C$
     8. ถ้า $A\subset B$ และ $A\subset C$ และ $A\cup B\subset C$

     2. อินเตอร์เซตชัน
     บทนิยาม ให้ $A$ และ $B$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ อินเตอร์เซกชันของ $A$ และ $B$ คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ทั้งใน $A$ และ $B$
     ใช้สัญลักษณ์ $A\cap B$ แทนอินเตอร์เซกชัน $A$ และ $B$ นิยมอ่านว่า $A$ อินเตอร์เซกชัน $B$ $A\cap B=\{ x\in \mathscr{U} | x\in A และ  x\in B\}$

     สรุปสมบัติที่สำคัญบางประการเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชัน
     ให้ $A,B$ และ $C$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ จะได้ว่า
     1. $A\cap A\subset B$ และ $A\cap B\subset B$
     2. $A\cap \varnothing = \varnothing$ และ $\varnothing \cap A=\varnothing$
     3. $A\cap B=B\cap A$
     4. $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
     5. $A\cap A=A$
     6. $A\subset B$ ก็ต่อเมื่อ $A\cap B=A$
     7. ถ้า $A\subset B$ และ $A\subset C$ แล้ว $A\subset B\cap C$
     8. ถ้า $A\subset C$ และ $B\subset C$ แล้ว $A\cap B\subset C$

     3. ผลต่าง
     บทนิยาม ให้ $A$ และ $B$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ ผลต่างของ $A$ และ $B$ คือ เซตซึ่งประกอบ ด้วยสมาชิกของ $A$ ซึ่งไม่เป็นสมาชิกของ $B$
     เขียนผลต่างของ $A$ เมื่อเทียบกับ $B$ ด้วย $A-B$
     $A-B=\{ x\in \mathscr{U} | x\in A และ x\neq B\}$

     4. คอมพลีเมนต์
     บทนิยาม ให้ $A$ และ $B$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ คอมพลีเมนต์ของ $A$ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิก ของ $U$ ซึ่งไม่เป็นสมาชิก $A$
     เขียนแทนคอมพลีเมนต์ของ $A$ ด้วย $A'$
     $\therefore A'=\mathscr{U}-A = \{X\in\mathscr{U} | X\not\in A\}$

     สรุปสมบัติที่สำคัญบางประการที่เกี่ยวกับผลต่างและคอมพลีเมนต์
     กำหนดให้ $A$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ จะได้ว่า
     1. $(A')'=A$
     2. $\varnothing ' =\mathscr{U}$
     3. $\mathscr{U}'=\varnothing$
     4. $A\cap A'=\varnothing$
     5. $A\cup A'=\mathscr{U}$
     (กฎของเดอร์มอร์กอง)
     กำหนดให้ $A\subset \mathscr{U}$ และ $B\subset \mathscr{U}$ จะได้ว่า
     6. $(A\cup B)'=A'\cap B'$
     7. $(A\cap B)'=A'\cup B'$
     8. $A-B=A\cap B'$
     9. $A-B=A-(A\cap B)$

ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ $A$ และ $B$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ จะได้ว่า $A\cap B\subset A\cup B$
ทฤษฎีบทที่ 2 ให้ $A,B$ และ $C$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ จะได้ว่า
     1. $A\cap (A\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
     2. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
ทฤษฎีบทที่ 3 ให้ $A$ และ $B $ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ จะได้ว่า $A\subset B$ ก็ต่อเมื่อ $B'\subset A'$
ทฤษฎีบทที่ 4 ให้ $A\subset \mathscr{U}$ และ $B\subset \mathscr{U}$ จะได้ว่า $A\cap B=\varnothing $ ก็ต่อเมื่อ $A\subset B'$

     5. เพาเวอร์เซต
     บทนิยาม เพาเวอร์เซตของ $A$ คือเซตของซับเซตทั้งหมดของ $A$ และจะได้ว่า
     1. $\varnothing \in P(A)$
     2. $A\in P(A)$
     3. จำนวนสมาชิกของ $P(A)$ เท่ากับ $2^n$ เมื่อ $A$ มีสมาชิก $n$ สมาชิก
     สรุปสมบัติที่สำคัญเกี่ยวกับเพาเวอร์เซต
     1. $P(A)\neq\varnothing $ เมื่อ $A$ เป็นเซตใดๆ
     2. $\varnothing\in P(A)$ เมื่อ $A$ เป็นเซตใดๆ
     3. $A\subset P(A)$ เมื่อ $A$ เป็นเซตใดๆ
     4. ถ้า $A$ เป็นเซตจำกัดและมีสมาชิก $n$ ตัวแล้ว $P(A)$ จะมีสมาชิก $2^n$ ตัว
     5. ถ้า $A\subset B$ แล้ว $P(A\subset P(B))$
     6. $P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)$
     7. $P(A)cup P(B)\subset P(A\cup B)$