จากรูปเราต้องการหาระยะทาง หรือระยะห่าง ระหว่าง จุด P กับ เส้นตรง L โดยสมมติว่าระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงนั้นมีระยะใกล้ที่สุด โดยจะทำให้เส้นที่ลากผ่านจุด P_1 ไปยังเส้นตรง L ตั้งฉากกันที่จุด P_2 ระยะทางจากจุด P_1 ไปยัง P_2 กำหนดให้ เป็น d
เราลองมาพิสูจน์กันนะครับว่าระยะทาง d นั้นจะใีค่าเท่ากับเท่าไร
โดยสิ่งที่เราทราบมีดังต่อไปนี้
จุด P_1 (x_1,y_1)
จุด P_2 (x_1+h,y_1+k)
สมการเส้นตรง L : Ax+By+C=0
จากสมการเส้นตรง เราสามารถหาความได้ได้เท่ากับ =\cfrac{-A}{B}
และความชันของสมการเส้นตรง จากจุด P_1 ไปยัง P_2 จะไม่ค่าเท่ากับ
\cfrac{\vartriangle y}{\vartriangle x}=\cfrac{(y_1+k)-y_1}{x_1+h)-x_1}=\cfrac{k}{h} หรือพิจารณาจากรูปจะเท่ากับ \cfrac{k}{h}
จากรูป เส้นตรง L และเส้นตรงที่ลากผ่าน P_1 และ P_2 ตั้งฉากกัน \bot จะได้ว่า ความชันเมื่อนำมาคูณกันจะมีค่าเท่ากับ -1 จะได้ว่า
m_{L}\times m_{p_1p_2}=-1
\cfrac{-A}{B}\times \cfrac{k}{h}=-1
แล้วเราก็แก้สมการ จะได้เท่ากับ
Bh-Ak=0 ให้เป็นสมการที่ 1
และเนื่องจากจุด P_2 เป็นจุดที่อยู่บนสมการเส้นตรง L แสดงว่าค่าพิกัดของจุด x,y เมื่อนำไปแทนในสมการเส้นตรง L แล้วจะมีค่าสมการเป็นจริง
แทนค่า
A(x_1+h)+B(y_1+k)+c=0 ให้เป็นสมการที่ 2
Ax_1+Ah+By_1+Bk+C=0
Ah+Bk=Ax_1+By_1+C
ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้
A^2h^2+2ABhk +B^2k^2=(Ax_1+By_1+C)^2 ให้เป็นสมการที่ 3
นำสมการที่ 1 มายกกำลังสองจะได้
B^2h^2-2ABhk+A^2k^2=0 ให้เป็นสมการที่ 4
นำสมการที่ 3 บวกกับสมการที่ 4 จะได้
(A^2+B^2)h^2+(A^2+B^2)k^2 = (Ax_1+By_1+C)^2
(A^2+B^2)(h^2+k^2)=(Ax_1+By_1+C)^2
h^2+k^2 =\cfrac{(Ax_1+By_1+C)^2}{A^2+B^2}
จากรูปให้ใช้ทฤษฎีปีทาโกรัส จะได้
d=\sqrt{h^2+k^2}
ดังนั้น
d=\sqrt{h^2+k^2}=\sqrt{\cfrac{(Ax_1+By_1+C)^2}{A^2+B^2}}
d=\cfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
สุดท้ายก็คือ ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงจากที่พิสูจน์มา เราจะสามารถหาค่าของระยะห่างนี้ได้คือ
d=\cfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
โดยที่น้องๆไม่ต้องกังวลเลยนะครับว่าทำไมมันถึงดูยากจังพี่แนะนำให้น้องๆ จำไปใช้เลยครับ แต่ถ้าใครต้องการที่จะเรียนรู้พิสูจน์สูตรก็สามารถเรียนรู้ได้เลยครับ ถ้าผิดพลาดประการใดฝากติชม คอมเมนต์ด้วยนะครับ
Google +
https://plus.google.com/u/0/106313003090188710045
Line Official
https://line.me/R/ti/p/%40krh4567k
YouTube
https://www.youtube.com/channel/UCCQ6YP2z2I95ab_mZEfXwLQ
Face Page
https://www.facebook.com/cadetexams/
No comments:
Post a Comment