จากรูปเราต้องการหาระยะทาง หรือระยะห่าง ระหว่าง จุด $P$ กับ เส้นตรง $L$ โดยสมมติว่าระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงนั้นมีระยะใกล้ที่สุด โดยจะทำให้เส้นที่ลากผ่านจุด $P_1$ ไปยังเส้นตรง $L$ ตั้งฉากกันที่จุด $P_2$ ระยะทางจากจุด $P_1$ ไปยัง $P_2$ กำหนดให้ เป็น $d$
เราลองมาพิสูจน์กันนะครับว่าระยะทาง $d$ นั้นจะใีค่าเท่ากับเท่าไร
โดยสิ่งที่เราทราบมีดังต่อไปนี้
จุด $P_1 (x_1,y_1)$
จุด $P_2 (x_1+h,y_1+k)$
สมการเส้นตรง $L : Ax+By+C=0$
จากสมการเส้นตรง เราสามารถหาความได้ได้เท่ากับ $=\cfrac{-A}{B}$
และความชันของสมการเส้นตรง จากจุด $P_1$ ไปยัง $P_2$ จะไม่ค่าเท่ากับ
$\cfrac{\vartriangle y}{\vartriangle x}=\cfrac{(y_1+k)-y_1}{x_1+h)-x_1}=\cfrac{k}{h}$ หรือพิจารณาจากรูปจะเท่ากับ $\cfrac{k}{h}$
จากรูป เส้นตรง $L$ และเส้นตรงที่ลากผ่าน $P_1$ และ $P_2$ ตั้งฉากกัน $\bot$ จะได้ว่า ความชันเมื่อนำมาคูณกันจะมีค่าเท่ากับ $-1$ จะได้ว่า
$m_{L}\times m_{p_1p_2}=-1$
$\cfrac{-A}{B}\times \cfrac{k}{h}=-1$
แล้วเราก็แก้สมการ จะได้เท่ากับ
$Bh-Ak=0$ ให้เป็นสมการที่ $1$
และเนื่องจากจุด $P_2$ เป็นจุดที่อยู่บนสมการเส้นตรง $L$ แสดงว่าค่าพิกัดของจุด $x,y$ เมื่อนำไปแทนในสมการเส้นตรง $L$ แล้วจะมีค่าสมการเป็นจริง
แทนค่า
$A(x_1+h)+B(y_1+k)+c=0$ ให้เป็นสมการที่ $2$
$Ax_1+Ah+By_1+Bk+C=0$
$Ah+Bk=Ax_1+By_1+C$
ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้
$A^2h^2+2ABhk +B^2k^2=(Ax_1+By_1+C)^2$ ให้เป็นสมการที่ $3$
นำสมการที่ $1$ มายกกำลังสองจะได้
$B^2h^2-2ABhk+A^2k^2=0$ ให้เป็นสมการที่ $4$
นำสมการที่ $3$ บวกกับสมการที่ $4$ จะได้
$(A^2+B^2)h^2+(A^2+B^2)k^2 = (Ax_1+By_1+C)^2$
$(A^2+B^2)(h^2+k^2)=(Ax_1+By_1+C)^2$
$h^2+k^2 =\cfrac{(Ax_1+By_1+C)^2}{A^2+B^2}$
จากรูปให้ใช้ทฤษฎีปีทาโกรัส จะได้
$d=\sqrt{h^2+k^2}$
ดังนั้น
$d=\sqrt{h^2+k^2}=\sqrt{\cfrac{(Ax_1+By_1+C)^2}{A^2+B^2}}$
$d=\cfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
สุดท้ายก็คือ ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงจากที่พิสูจน์มา เราจะสามารถหาค่าของระยะห่างนี้ได้คือ
$d=\cfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
โดยที่น้องๆไม่ต้องกังวลเลยนะครับว่าทำไมมันถึงดูยากจังพี่แนะนำให้น้องๆ จำไปใช้เลยครับ แต่ถ้าใครต้องการที่จะเรียนรู้พิสูจน์สูตรก็สามารถเรียนรู้ได้เลยครับ ถ้าผิดพลาดประการใดฝากติชม คอมเมนต์ด้วยนะครับ
Google +
https://plus.google.com/u/0/106313003090188710045
Line Official
https://line.me/R/ti/p/%40krh4567k
YouTube
https://www.youtube.com/channel/UCCQ6YP2z2I95ab_mZEfXwLQ
Face Page
https://www.facebook.com/cadetexams/
No comments:
Post a Comment