พิชิตโจทย์คณิตศาสตร์ ทุกสถาบัน $\dfrac{1}{\cos^2 10}+\dfrac{1}{\sin^2 20}+\dfrac{1}{\sin^2 40}$ มีค่าเท่าใด

1. ค่าของ $\dfrac{1}{\cos^2 10^\circ}+\dfrac{1}{\sin^220^\circ}+\dfrac{1}{\sin^240^\circ}$

1) 8
2) 6
3) 12
4) 10

วิธีทำ
โดยใช้คุณสมบัติของตรีโกณมิติต่างๆ ด้านล่างนี้

1. $\sin(2A)=2\sin A\cos A$
2. $\sin^2(A)=\dfrac{1-\cos 2A}{2}$
3. $\cos^2 (A)=\dfrac{1+\cos 2A}{2}$
4. $\cos A\cos B=\dfrac{\cos(A-B)+\cos(A+B)}{2}$
5. $\cos A-\cos B =2\sin\dfrac{(A+B)}{2}\sin\dfrac{(B-A)}{2}$
6. $\sin(90\pm A)=\cos (A)$

จากสมการที่โจทย์กำหนดให้ 

$\dfrac{1}{\cos^2 10^\circ}+\dfrac{1}{\sin^220^\circ}+\dfrac{1}{\sin^240^\circ}$   กำหนดให้เป็นสมการที่ 1

โดยเมื่อเราพิจารณาจากสมการที่ 1 จะเห็นว่า เราต้องทำการบวกจำนวน เศษส่วน ดังนั้น เราจึงต้องดำเนินการทำเป็น ส่วนร่วม ให้ส่วนมีค่าเท่ากัน จากคุณสมบัติของตรีโกณมิติด้านบนนั้น จะเห็นว่า ถ้าเราให้คุณสมบัติของ 2 เท่าของมุม ในคุณสมบัติข้อที่ 1 จะทำให้เราได้ส่วนร่วม เป็นจำนวนที่คูณกัน ซึ่งเหมาะที่จะนำไปได้ในขั้นต่อไป ดังนั้น เราจึงพิจาณา ส่วนให้เท่ากับ $\sin^2 40$ ดังนั้น เราจะเหลือ พจน์ $\dfrac{1}{\cos^2 10}$ กับ $\dfrac{1}{\sin^2 20}$ ที่ต้องแปลงส่วนให้เท่ากับ $\sin^2 40$ ได้ดังนี้

แปลงพจน์ $\dfrac{1}{\sin^2 20}$

โดยใช้คุณสมบัติ ข้อที่ 1 จะได้

$\sin (2\times 20) = 2\sin 20\cos 20$ 

$\sin 20 = \dfrac{\sin 40}{2\cos 20}$ กำหนดให้เป็นสมการที่ 2

นำค่าที่ได้จากสมการที่ 2 ไปแทนใน $\dfrac{1}{\sin^2 20}$ จะได้

$\dfrac{1}{\sin^2 10} =\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sin 40}{2\cos 20}\right)^2}$

$\dfrac{1}{\sin^2 20} =\dfrac{4\cos^2 20}{\sin^2 40}$ กำหนดให้เป็นสมการที่ 3

แปลง $\cos^2$ จากสมการที่ 3 โดยใช้คุณสมบัติข้อ 3 จะได้

$\dfrac{4\cos^220}{\sin^2 40}=\dfrac{4\left(\dfrac{1+\cos 40}{2}\right)}{\sin^2 40}$ 

$\dfrac{4\cos^2 20}{\sin^2 40} =\dfrac{4\left(\dfrac{1+\cos 40}{2}\right)}{\sin^2 40}$

$\dfrac{4\cos^2 20}{\sin^2 40} =\dfrac{2+2\cos 40}{\sin^240} $  กำหนดให้เป็นสมการที่ 4

พิจารณาพจน์ $\dfrac{1}{\cos^2 10}$ แล้วแปลงเป็นส่วน $\sin^2 40$ โดยใช้คุณสมบัติข้อที่ 1 จะได้

$\sin (2\times 10) =2\sin(10)\cos(10)$

$\cos 10 =\dfrac{\sin 20}{2\sin 10}$

ดังนั้น

$\dfrac{1}{\cos^2 10}  =\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sin 20}{2\sin 10}\right)^2} $

$\dfrac{1}{\cos^2 10} =\dfrac{4\sin^2 10}{\sin^2 20}$ กำหนดให้เป็นสมการที่ 5

จากสมการที่ 5 เราสามารถแปลง ส่วนให้เป็น $\sin^2 40$ ได้ดังนี้ โดยนำสมการที่ 3 มาแทนในสมการที่ 5

$\dfrac{1}{\cos^2 10} =\dfrac{4\sin^2 10}{\left(\dfrac{\sin 40}{2\cos 20}\right)^2}$

$\dfrac{1}{\cos^2 10} =\dfrac{4\sin^2 10\times 4\cos^2 20}{\sin^2 40}$  กำหนดให้เป็นสมการที่ 6

พิจารณาสมการ 6 โดยแปลงจากค่า $\sin^2$ และ $\cos^2$ โดยใช้คุณสมบัติข้อ 2 และ 3 จะมีค่าเท่ากับ

$\dfrac{4\sin^2 10\times 4\cos^2 20}{\sin^2 40}=\dfrac{4\times 4\dfrac{1-\cos 20}{2}\dfrac{1+\cos 40}{2}}{\sin^2 40}$

$\dfrac{4\sin^2 10\times 4\cos^2 20}{\sin^2 40}=\dfrac{4(1+\cos 40-\cos 20-\cos 10\cos40)}{\sin^240}$

$\dfrac{4\sin^2 10\times 4\cos^2 20}{\sin^2 40}=\dfrac{4+4\cos40-4\cos20-4\cos20\cos40}{\sin^2 40}$   กำหนดให้เป็นสมการที่ 7

นำสมการที่ 4 และ สมการที่ 7 ไปแทนในสมการที่ 1 จะได้

$\dfrac{4+4\cos 40-4\cos 20-4\cos 20\cos 40+2+2\cos 40+1}{\sin^240}$

$\dfrac{7+6\cos 40-4\cos20-4\cos20\cos 40}{\sin^240}$   กำหนดให้เป็นสมการที่ 8

พิจารณาเฉพาะพจน์ $\cos 20\cos 40$ จากสมการ 8  โดยใช้คุณสมบัติข้อ 4 จะได้

$\cos 20\cos40 = \dfrac{\cos(40-20)+\cos(40+20)}{2}$

$\cos 20\cos40 = \dfrac{\cos(20)+\cos(60)}{2}$

นำค่าที่ได้ของ $\cos 20\cos 40$ ไปแทนในสมการที่ 8 จะได้

$\dfrac{7+6\cos 40-4\cos 20-4\dfrac{\cos(20)+\cos(60)}{2}}{\sin^2 40}$

$\dfrac{7+6\cos 40-4\cos20-2\cos 20-2\cos 60}{\sin^240}$

$\dfrac{7+67cos 40-6\cos20-1}{\sin^240}$

$\dfrac{6-6\cos20+6\cos40}{\sin^240}$

$\dfrac{6-6(\cos 20-\cos40)}{\sin^240}$   กำหนดให้เป็นสมการที่ 9

พิจารณาเฉพาะ $\cos20-\cos 40$ โดยใช้คุณสมบัติข้อ 5 จะได้

$\cos 20-\cos 40 = 2\sin\left(\dfrac{40+20}{2}\right)\sin\left(\dfrac{40-20}{2}\right)$

$\cos 20-\cos 40 = 2\sin 30\sin 20$   

$\cos 20-\cos 40 = \sin (20)$ กำหนดให้เป็นสมการที่ 10

นำสมการที่ 10 ไปแทนในสมการที่ 9 จะได้

$\dfrac{6-6\sin (20)}{\sin^240}$

$\dfrac{6(1-\sin(20))}{\sin^240}$   กำหนดให้เป็นสมการที่ 11

จากคุณสมบัติที่ 6 จะได้ $\sin(20) =\sin(90-80) = \cos (80)$ นำไปแทนสมการที่ 11 จะได้

$\dfrac{6(1-\cos 80)}{\sin^2 40}$   กำหนดให้เป็นสมการที่ 12

พิจารณา $\sin^2 40$ โดยคุณสมบัติข้อ 2 จะได้ $\sin^2 40 =\dfrac{1-\cos 80}{2}$ นำไปแทนในสมการ 12 จะได้

$\dfrac{6(1-\cos 80)}{\dfrac{(1-\cos 80)}{2}} =12$ 

ตอบ $12$