เซต วิชาคณิตศาสตร์

เซต

     เซต เป็นคำนามที่บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งของต่างๆ และจะให้ในกรณีที่ทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่นเซตของเดือนในหนึ่งปี บอกได้แน่นอนว่ามีเดือนใดบ้างอยู่ในเซต เซตจำนวนเต็มบวก บอกได้แน่นอนจำนวนที่เต็มที่สามารถอยู่ในเซตได้เช่นจำนวนใดบ้างเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่าสมาชิกของเซต เช่น 2 เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนเต็มบวก

     ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์

     1. ให้สัญลักษณะ $``\in "$ แทนการเป็นสมาชิก และ $``\notin  "$ แทนการไม่เป็นสมาชิก เช่น $``x\in A "$ อ่านว่า $x$ เป็นสมาชิกของ $A$ (หรือ $x$ อยู่ใน $A$)

     $``x\notin "$ อ่านว่า $x$ ไม่เป็นสมาชิกของ $A$ (หรือ $x$ ไม่อยู่ใน $A$)

     2. ในกรณีทั่วไป จะใช้อักษรอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ $A,B \dots ,Z$ แทนเซต และอักษรภาษาอัังกฤษตัวพิมพ์เล็ก $a,b,\dots , z$ แทนสมาชิกของเซต

     3. สัญลักษณ์แทนเซตจำนวนต่างๆ

     $I$ แทนเซตของจำนวนเต็ม                          

     $Q^-$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะเป็นลบ

     $I^{+}$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก            

     $R$ แทนเซตของจำนวนจริง

     $I^-$ แทนเซตของจำนวนเต็มลบ                   

     $R^+$ แทนเซตของจำนวนจริงบวก

     $Q$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะ

     $R^-$ แทนเซตของจำนวนจริงลบ

     $Q^+$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะเป็นบวก

     $N$ แทนเซตของจำนวนนับ

     วิธีเขียนสัญลักษณ์ เพื่อกำหนดเซตอยู่ 2 วิธี คือ

     1. วิธีแจกแจงสมาชิก วิธีนี้สมาชิกทั้งหมดของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา และใช้เครื่องหมาย $``,"$ คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์

          $\{จันทร์,อังคาร,พุธ,พฤหัสบดี,ศุกร์,เสาร์,อาทิตย์\}$

     ในกรณีที่ไม่สามารถเขียนสมาชิกได้ครบทุกตัว หรือแม้เขียนได้ก็ยาวเกินไป จะใช้ $``....."$ ช่วย เช่น ว่าสมาชิก ตัวต่อไปคืออะไรเช่น

          $\{1,2,3,4,5,\dots \}$

          แต่จะไม่เขียน $\left\{ 0,\dfrac{3}{2},\sqrt{5},11,\dots  \right\}$ เพราะไม่ทราบว่าจำนวนใดอยู่ถัดจาก $7$

          หรือ $\left\{ 1,2,3,\dots ,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots\right\}$ เพราะไม่ทราบว่าจำนวนใดหน้า $\cfrac{1}{2}$

     2. วิธีกำหนดเงื่อนไข วิธีเขียนตัวแปรแทนสมาชิก และกำหนดเงื่อนไขในรูปของตัวแปรนั้น เพื่อบอกว่าสิ่งใดเป็นสมาชิกของเซต แล้วเขียนวงเล็บปีกกาคร่อม เช่น ถ้าให้เอกภพสัมพัทธ์ $U$ เท่ากับเซตของจำนวนเต็มบวก

เช่น $A=\{x\;|\; x เป็นจำนวนนับและ x มีค่าไม่เกิน \}$ ซึ่งอ่านว่า

            $A$ เป็นเซตที่ประกอบด้วย $x$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนนับ และ $x$ มีค่าไม่เกิน $5$

     เอกภพสัมพันธ์ คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งทีี่เราศึกษา เขียนแทนด้วย $U$ เช่น เราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม ดังนั้นเอกภพสัมพันธ์ คือเซตของจำนวนเต็ม และมีเซตของจำนวนเต็มบวกและเซตของจำนวนเต็มลบ และเซตจำนวนเต็มศูนย์ ต่างกับสับเซตของเอกภพสัมพันธ์

เช่น $A=\{x\in N\;|\; x เป็นจำนวนเฉพาะ\}\;U=N$

          $B=\{x\in R\;|\; x\in N และ 5 หาร x ลงตัว\};U=R$

     ข้อตกลง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง อาจตกลงไม่เขียนเอกภพสัมพัทธ์ เช่น

$\{x\;|\; x^2=1\}$ หมายถึง $\{x\in R\;|\; x^2=1\}$

     การเท่ากันของเซต เซต $A$ และ เซต $B$ จะเป็นเซตที่เท่ากันก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต $A$ เป็นสมาชิกของเซต $B$ และสมาชิกของเซต $B$ และสมาชิกทุกตัวของเซต $B$ เป็นสามาชิกของเซต $A$ เขียนแทนด้วย $A=B$

$A=\{x\;|\; x เป็นคำตอบของสมการ x^2-2x-8\}$

และ $B=\{-2,4\}$

     เซตว่างคือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเขียนแทนเซตว่างด้วย $\varnothing$ หรือ $\{  \}$

          เช่น $A=\{x | x เป็นจำนวนจริงและ x^2+1=0\}$ จะได้ว่า $A=\varnothing$

                 $B=\{x | x เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าอยู่ระหว่าง 2 และ 3\}$

เซตจำกัดและเซตอนันต์

     บทนิยาม ให้ $A$ เป็นเซต $A$ จะเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อสามารถบอกจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกันในเซตนั้นได้ว่ามีจำนวนเท่าใด

จากความหมายของเซตจำกัดแสดงว่า เซตจำกัดคือเซตที่มีสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์

เช่น $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก 8 สมาชิก

บทนิยาม เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด

จากนิยามคือเซตที่มีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน

เช่น $A=\{1,2,3,4,5,\dots \}$ เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

สับเซต

     บทนิยาม กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเซต $A$ เป็นสับเซตของ $B$ ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของ $A$ เป็นสมาชิกของ $B$

     ถ้า $A$ เป็นสับเซตของ $B$ เขียนแทนด้วย $A\subset B$

     ถ้า ไม่เป็นสับเซตของ $B$ เขียนแทนด้วย  $A\not\subset B$

ข้อสังเกต $A$ ไม่เป็นสับเซตของ $B$ ก็ต่อเมื่อมีสมาชิกของ $A$ อย่างน้อยหนึ่งตัว ซึ่งไม่เป็นสมาชิก ของ $B$ เช่น $A=\{1,2,3\},B=\{1,2,3,4,5\}\therefore A\subset B$

บทนิยาม ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตใดๆ $A$ เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ $A\subset B$ และ $A\neq B$

เช่น $A=\{1,2,3\}$ สับเซตแท้ของ $A$ คือ $\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$ แต่ $\{1,2,3\}$ ไม่เป็นสับเซตแท้ของเซต $A$ 

จำนวนสับเซต ถ้า $A$ เป็นเซตที่มีสมาชิก $n$ สามชิกแล้ว จำนวนสับเซตของ $A$ จะมี $2^n$ เซต และมีจำนวนสับเซตแท้ ของ $A=2^n-1$ เซต

     ถ้า $A=\varnothing$ สับเซตของ $A$ มี 1 เซต หรือ $2^0$ เซตว่างไม่มีสับเซตแท้

สรุปสมบัติที่สำคัญเกี่ยวกับสับเซต

     1. $varnothing \subset A$ เมื่อ $A$ เป็นเซตใดๆ

     2. $A\subset A$ เมื่อ $A$ เป็นเซตใดๆ

     3. $A\subset U$ เมื่อ $U$ เป็นเซตใดๆ

     4. ถ้า $A\subset \varnothing$ แล้ว $A=\varnothing$

     5. ถ้า $A\subset B$ และ $B\subset C$ และ $A\subset C$ เมื่อ $A,B,C$ เป็นเซตใดๆ

     6. $A\subset B$ และ $B\subset A$ ก็ต่อเมื่อ $A=B$

     7. ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตจำกัด และ $A\subset B$ แล้ว $n(A)\leqslant n(B)$

     8. ถ้า $A$ มีสมาชิก $n$ ตัวแล้ว จำนวนสับเซตของ $A$ จะมี $2^n$ สับเซต