แนวความคิดพื้นฐานทางพีชคณิต จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม (Natural Numbers and Integers)

จำนวนธรรมชาติ และ จำนวนเต็ม (Natural Numbers and Integers)

ในทางพีชคณิต เราสามารถระบุจำนวน แบบเฉพาะเจาะจงได้ ในกรณีนี้ เราจะพูดถึง เซต ของจำนวน อยู่ 2 ประเภทคือ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม โดยเราพิจารณาเซตเฉพาะได้ดังต่อไปนี้

เซตของจำนวนนับ $\{1,2,3,4,\dots \}$ ในทางคณิตศาสตร์ เซต ดังกล่าวนั้นจะถูกเรียกว่า จำนวนธรรมชาติ (natural numbers) และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $N$ เซตของ จำนวนเต็ม (integers) คือเซตที่รวมจำนวน ธรรมชาติ จำนวนลบของจำนวนธรรมชาติ และ ศูนย์ โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทนคือ $I$

$I =\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$

ข้อสังเกตระหว่าง เซต สองทั้งสองคือ เซตของ จำนวนธรรมชาตินั้น เป็นสับเซตของ เซตของจำนวนเต็ม

$N\subset I$

ในหัวข้อนี้ เราจะมาพูดถึง กฎที่ครอบคลุมการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ของจำนวนเต็ม อย่างแรกที่เราจะพูดถึงกันก็คือ แนวความคิดเรื่อง ค่าสมบูรณ์ (absolute value)

ค่าสมบูรณ์ของตัวเลข $x$ เขียนแทนได้ด้วย $|x|$ และค่าเท่ากับ

• $|x|$ คือ $x$ ถ้า มีค่ามากกว่าหรือ เท่ากับ ศูนย์
• $|x|$ คือ $-x$ ถ้า $x$ มีค่าน้อยกว่า ศูนย์

ค่า สมบูรณ์ของตัวเลขนั้น จะมีค่าเป็นบวกหรือ เป็นศูนย์ของตัวเลขนั้น โดยค่าสมบูรณ์ของจำนวนที่เป็นลบ นั้น จะถูกเปลี่ยนเครื่องหมายให้เป็น บวกเสมอ เช่น

• ค่าสมบูรณ์ ของ $3$ คือ $3$
• ค่าสมบูรณ์ของ $0$ คือ $0$
• ค่าสมบูรณ์ของ $-2$ คือ $2$

กฎพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ที่สัมพันธ์กับจำนวเต็ม หรือกฎโดยทั่วไปที่ใช้ตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม คือ

กฎข้อที่ 1	ตัวอย่าง
การบวก จำนวนเต็ม สองจำนวนหรือมากกว่า และมีเครื่องหมายเดียวกัน ผลลัพธ์ของการบวกนั้น จะได้ค่าเครื่องหมาย ที่เหมือนกับจำนวน เริ่มต้น	$(-27)+(-6)=-33$ $-6+(-5)+(-9)=-20$

กฎข้อที่ 2	ตัวอย่าง
การบวก จำนวนเต็ม สองจำนวนที่ มีเครื่องหมาย ต่างกัน ถ้าค่าสมบูรณ์ของตัวเลขที่น้อยกว่า          ลบออกจากค่าสมบูณ์ ของตัวเลขที่มากกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ จะได้เครื่องหมายของเดียวกันกับ  ตัวเลขของค่าสมบูรณ์ที่มากกว่า	-23+15=-8$ $45+(-29) =16$

ตัวอย่าง

จงบวกจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

$(-21)+7+(-8)+(-13)+12 $

อันดับแรกทำการบวก ตัวเลขที่เป็นจำนวนลบ โดยใช้ค่าสมบูรณ์ของจำนวนลบนั้นบวกกัน

$21+8+13 = 42$

ดังนั้น

$(-21)+(-8)+(-13) = -42$

ทำการบวกจำนวนตัวเลขที่เป็นบวก

$7+12=19$

ใช้กฎข้อที่ 2 $42-19 = 23$ ดังนั้น

$(-42)+19=-23$

ก่อนที่จำทำการลบจำนวนเต็ม เราควรเข้าใจความหมายของ อินเวอร์สของจำนวน  (inverse of a number) อินเวอร์สการบวก (additive inverse) คือจำนวนที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามอยู่ด้านหน้า ของจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น additive inverse ของ $7$ คือ $-7$ additive inverse ของ $-5$ คือ $5$ ข้อสังเกต additive inverse ของ $0$ คือ $0$ ดังนั้นค่า $0$ จึงไม่ใช่จำนวน บวกหรือ จำนวนลบ การบวกจำนวน กับ additive inverse ของจำนวนนั้น จะมีค่าเท่ากับ $0$ ตัวอย่าง $6+(-6)=0 , (-11)+11=0$ และ $0+0=0$  ถ้ามีเครื่องหมายลบ $-$ อยู่หน้าจำนวน additive inverse จะต้องทำการเปลี่ยนเครื่องหมายของจำนวน additive inverse เช่น $-(-8)=8$ คือ additive inverse ของ $-8$ ดังนั้น $8$ คือ additive inverse ของ $-8$ หรือ $-(-8)=8$ สามารถเขียนได้ในรูปแบบทั่วไปคือ

$-(-a)=a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนใดๆ

กฎข้อที่ 3	ตัวอย่าง
การลบจำนวนเต็ม โดยการบวกจำนวน additive inverse ของจำนวนนั้น เช่น ถ้า $a$ และ $b$ คือจำนวนเต็ม ดังนั้น $a-b=a+(-b)$	$7-(-12)=7+12=19$ $-3-22 =-3+(-22)=-25$

ถ้าเรามีจำนวนเต็ม ที่ดำเนินการบก หรือ ลบกัน เราสามารถ เปลี่ยนทั้งหมดนั้นให้เป็นการบวกได้ โดยใช้กฎข้อที่ 3 และประยุคก์ กฎในการบวกเลขของจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง

ดำเนินการ บวกและ ลบจำนวนดังต่อไปนี้

$-8-19+29-(-40)+(-11)$

เปลี่ยน $19$ ไปเป็น $(-19)$ และ $-40$ ไปเป็น $40$ และเปลี่ยนการดำเนินการ ก่อนที่จะทำการบวกกัน

$-8-19+29-(-40)+(-11)=-8+(-19)+29+40+(-11)$

$= -8+(-19)+(-11)+29+40$

$= -38+69$

$=31$

เมื่อเราทำการบวกตัวเลข เราสามารถใช้คำเรียกการบวกนั้นได้ว่า terms เช่น $7+(-16)=-9$ terms ก็คือ $7$ และ $-16$ ส่วน $-9$ นั้นเราจะเรียกว่า ผลรวม (sum) แต่เมื่อเราทำการคูณ ตัวเลขที่เราทำการคูณ จะถูกเรียกว่า factors เช่น $5*8=40$ ดังนั้น factors ก็คือ $5$ และ $8$ ส่วนผลลัพธ์ที่ได้นั้น จะถูกเรียกว่า ผลคูณ (product)  

กฎข้อที่ 4	ตัวอย่าง
ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวน ถ้าเครื่องหมายเหมือนกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเป็นบวก	$16\times 5 =80$ $(-3)\times (-14)=42$

กฎข้อที่ 5	ตัวอย่าง
ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวน ถ้าเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเป็นลบ	$13\times (-3) = -39$ $(-4)\times 16 =-64$

แต่เมื่อเรา ทำการคูณ จำนวนเต็มมากกว่า สองจำนวน เราจะพิจารณาโดย ทำการคูณทีละสองจำนวนในแต่ละครั้ง โดยจากทางซ้ายมือก่อน และผลคูณของ แต่ละครั้งนั้น ก็จะนำไปคูณกับตัวเลขถัดไป จน การคูณนั้นเสร็จสิ้น

ตัวอย่าง

จงทำการคูณตัวเลขดังต่อไปนี้

$(-5)\times (3)\times (-2)\times (-4)$

$(-15)\times (-2)\times (-4)$

$(30)\times (-4)$

$-120$

จากการดำเนินการของตัวอย่างที่กล่าวมา เราสามารถตรวจจับรูปแบบ และทำนายเครื่องหมายของผลคูณได้ดังนี้

กฎพื้นฐาน ในข้อที่ 4 และ 5	ตัวอย่าง
ถ้าตัวเลขของ factors ที่เป็นลบ นั้นมีจำนวนเป็นจำนวนคู่ ผลคูณที่ได้ นั้นจะมีค่าบวก เสมอ	$(-5)(11)(-2) = 110$ $(-2)(3)(-5)(-1)(-5) = 150$ $(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=64$
ถ้าตัวเลขของ factors ที่เป็นลบ นั้นมีจำนวนเป็นจำนวนคี่ ผลคูณที่ได้จะมีค่าเป็น ลบเสมอ	$(-12)(9)=-108$ $(1)(-4)(-7)(2)(-1)=-56$ (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=-120

ข้อสังเกต factors ของจำนวนที่เป็นบวก นั้นไม่มีผลกระทบ กับเครื่องหมายของผลคูณ

กฎข้อที่ 6	ตัวอย่าง
ผลคูณของจำนวนศูนย์ กับจำนวนเต็มอื่นๆ มีค่าเท่ากับ $0$ เสมอ	$(-45)(0)=0$ $(0)(-20)(-12)(7)=0$

เมื่อ factors ทั้งหมดของผลคูณนั้น เป็นตัวเลขเดียวกัน เราสามารถเขียนให้สั้นลงได้ด้วย ตัวเลขยกกำลัง (power notation) หรือ เอกซ์โพเนนเซียล (exponential notation) เช่น  $2.2.2.2.2$ เราสามารถเขียนได้เป็น $2^5$ เมื่อ $2$ เป็น factor การคูณ และเราจะเรียกว่า ฐาน (base) และ $5$  นั้นคือจำนวนของ factors จะถูกเรียกว่า กำลัง (power) หรือ เอกซ์โพเนน (exponent) ตัวเลขที่แสดง $2^5$ จะอ่านว่า สอง ยกกำลัง ห้า เช่น

$3.3.3.3 = 3^4 = 81$ อ่านว่า สามยกกำลังสี่

$5.5.5 = 5^3 = 125$ อ่านว่า ห้ายกกำลังสาม

สามารถเขียนในรูปทั่วไปได้ดังนี้

$a^n =a.a.a.\dots a$ เมื่อ $a$ จำนวนใดๆ และ $n$ คือจำนวนธรรมชาติ

ข้อสังเกตุ

เมื่อฐานเป็นลบ เราสามารถใส่เครื่องหมายวงเล็บได้ที่เลขฐาน และเขียน เลขยกกำลังไว้ด้านนอกของ วงเล็บ พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ $(-5)^2=(-5)(-5) = 25$ ฐานคือ $-5$ ใน $-5^2 = -(5.5)=-25$ ดังนั้นเลขยกกำลัง $2$ นั้นจะยกกำลังเฉพาะเลข $5$ เท่านั้น ไม่ได้ยกกำลังเครื่องหมายลบ ที่อยู่หน้าเลขฐานด้วย เราเลยเขียนเครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบหลังจากเราได้ผลของ $5^2$ แล้ว

ตัวอย่าง

1. $(-13)^2$

$(-13)^2 =(-13)(-13) = 169$

2. $-6^3$

$-6^3 = -(6.6.6) = -216$

ในการหารนั้น $6\div 2 =3$ เราจะเรียกว่า การหาร (dividend) โดย $2$ นั้นเรียกว่า ตัวหาร (divisor) และ $3$ นั้นเรียกว่า ผลหาร (quotient) ดังนั้นเราจึงพูดได้ว่า $6$ นั้นถูกหาร ด้วย $2$ และในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะ กรณี จำนวนเต็มหนึ่ง จำนวน ถูกหารด้วยจำนวนอื่นๆ

กฎข้อที่ 7	ตัวอย่าง
ผลหารของจำนวนเต็ม สองจำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน จะมีเครื่องหมายเป็นบวก	$48\div 3=16$ $-56/(-2)=28$

กฎข้อที่ 8	ตัวอย่าง
ผลหารของจำนวนเต็ม สองจำนวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน จะมีเครื่องหมายเป็นลบ	$-45/15 = -3$ $52\div (-4) = -13$

เราสามารถตรวจสอบคำตอบ จากการหาร โดยกำหนดได้จาก

(ตัวที่ถูกหารหาร)= (ผลหาร). (ตัวหาร)

เช่น เมื่อ $52\div (-4) = -13 $ เป็นจริง เพราะว่า $52=(-13)(-4)$

กฎข้อที่ 9	ตัวอย่าง
1. $0$ หารด้วยจำนวนเต็มใดก็ตามที่ไม่ใช่ $0$ ผลหารทีได้ จะมีค่าเท่ากับ $0$	$0\div 5 =0$ $0/(-24) = 0$
2. เราไม่สมารถนำตัวเลขใดๆ มาหารด้วย $0$ ได้	$7\div 0$ ไม่นิยาม $0/0$ ไม่นิยาม

ดังนั้น เราตรวจสอบจากกระบวนการบางอย่างได้ $(-24)(0)=0$ เราสามารถเขียนใหม่ได้ว่า $0/(-24) =0$ ในทางกลับกัน ถ้าเราพยายามหาคำตอบของ $7\div 0$ เราก็เจอกับปัญหามากมาย และ มีข้อผอดพลาด เช่น $7\div 0 = 0$ ตรวจสอบ จะได้ $(0).(0)\neq 7$ เราจะเห็นว่า ไม่เป็นความจริง หรือเป็นไปไม่ได้ที่เราจะหาคำตอบจาก $0/0$ ดังนั้น $( ).0 =0$ ไม่ว่าตัวเลขใดๆก็ตามที่ใส่เข้าไปในวงเล็บ แล้วเราหาคำตอบของตัวเลขนั้น จะได้ $0/0=()$ ดังนั้นมันไม่มีคำตอบ เราจึงพูดได้ว่า การหารตัวเลขใดๆก็ตามด้วย $0$ หรือ $0/0$ นั้น ไม่นิยาม

หลีกเลี่ยงความผิดพลาดดังต่อไปนี้

ไม่ถูกต้อง	ถูกต้อง
1. จำนวนลบ สองจำนวนสามารถสร้างจำนวนที่เป็นบวกได้	ผลบวกของจำนวนลบสองจำนวน คือ จำนวนลบ $(-5)+(-8) = -13$ ผลคูณ หรือ ผลหาร ของ จำนวนลบ สองจำนวน นั้นมีค่าเป็นบวก $(-12).(-8) = 96$ $(-54)\div (-3) = 18$
2. $-3^2 = 9$	$(-3)^2 = (-3).(-3) = 9$
3. $5/0 = 0$	$5/0$ นั้นไม่นิยาม
4. $0/0 = 0$	$0/0$ นั้นไม่นิยาม