วิธีการหาระยะห่างระหว่างจุด กับสมการเส้นตรง

จากรูปเราต้องการหาระยะทาง หรือระยะห่าง ระหว่าง จุด $P$ กับ เส้นตรง $L$ โดยสมมติว่าระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงนั้นมีระยะใกล้ที่สุด โดยจะทำให้เส้นที่ลากผ่านจุด $P_1$ ไปยังเส้นตรง $L$ ตั้งฉากกันที่จุด $P_2$ ระยะทางจากจุด $P_1$ ไปยัง $P_2$ กำหนดให้ เป็น $d$

เราลองมาพิสูจน์กันนะครับว่าระยะทาง $d$ นั้นจะใีค่าเท่ากับเท่าไร

โดยสิ่งที่เราทราบมีดังต่อไปนี้

จุด $P_1 (x_1,y_1)$
จุด $P_2 (x_1+h,y_1+k)$
สมการเส้นตรง $L : Ax+By+C=0$
จากสมการเส้นตรง เราสามารถหาความได้ได้เท่ากับ $=\cfrac{-A}{B}$

และความชันของสมการเส้นตรง จากจุด $P_1$ ไปยัง $P_2$ จะไม่ค่าเท่ากับ

$\cfrac{\vartriangle y}{\vartriangle x}=\cfrac{(y_1+k)-y_1}{x_1+h)-x_1}=\cfrac{k}{h}$ หรือพิจารณาจากรูปจะเท่ากับ $\cfrac{k}{h}$

จากรูป เส้นตรง $L$ และเส้นตรงที่ลากผ่าน $P_1$ และ $P_2$ ตั้งฉากกัน $\bot$ จะได้ว่า ความชันเมื่อนำมาคูณกันจะมีค่าเท่ากับ $-1$  จะได้ว่า

$m_{L}\times m_{p_1p_2}=-1$
$\cfrac{-A}{B}\times \cfrac{k}{h}=-1$

แล้วเราก็แก้สมการ จะได้เท่ากับ

$Bh-Ak=0$   ให้เป็นสมการที่  $1$

และเนื่องจากจุด $P_2$ เป็นจุดที่อยู่บนสมการเส้นตรง $L$ แสดงว่าค่าพิกัดของจุด $x,y$ เมื่อนำไปแทนในสมการเส้นตรง $L$ แล้วจะมีค่าสมการเป็นจริง

แทนค่า

$A(x_1+h)+B(y_1+k)+c=0$    ให้เป็นสมการที่ $2$

$Ax_1+Ah+By_1+Bk+C=0$

$Ah+Bk=Ax_1+By_1+C$

ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้

$A^2h^2+2ABhk +B^2k^2=(Ax_1+By_1+C)^2$   ให้เป็นสมการที่ $3$

นำสมการที่ $1$ มายกกำลังสองจะได้

$B^2h^2-2ABhk+A^2k^2=0$ ให้เป็นสมการที่ $4$

นำสมการที่ $3$ บวกกับสมการที่ $4$ จะได้

$(A^2+B^2)h^2+(A^2+B^2)k^2 = (Ax_1+By_1+C)^2$

$(A^2+B^2)(h^2+k^2)=(Ax_1+By_1+C)^2$

$h^2+k^2 =\cfrac{(Ax_1+By_1+C)^2}{A^2+B^2}$

จากรูปให้ใช้ทฤษฎีปีทาโกรัส จะได้

$d=\sqrt{h^2+k^2}$

ดังนั้น

$d=\sqrt{h^2+k^2}=\sqrt{\cfrac{(Ax_1+By_1+C)^2}{A^2+B^2}}$

$d=\cfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

สุดท้ายก็คือ ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงจากที่พิสูจน์มา เราจะสามารถหาค่าของระยะห่างนี้ได้คือ

$d=\cfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

โดยที่น้องๆไม่ต้องกังวลเลยนะครับว่าทำไมมันถึงดูยากจังพี่แนะนำให้น้องๆ จำไปใช้เลยครับ แต่ถ้าใครต้องการที่จะเรียนรู้พิสูจน์สูตรก็สามารถเรียนรู้ได้เลยครับ ถ้าผิดพลาดประการใดฝากติชม คอมเมนต์ด้วยนะครับ

ถ้าสนใจข้อมูลเพิ่มเติมสามารถติดตามเราได้ที่

Google +
https://plus.google.com/u/0/106313003090188710045

Line Official
https://line.me/R/ti/p/%40krh4567k

YouTube
https://www.youtube.com/channel/UCCQ6YP2z2I95ab_mZEfXwLQ

Face Page
https://www.facebook.com/cadetexams/